Équations différentielles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Équations différentielles

Deuxième exercice de type Bac – Équation y + ay = b (b 0)

Un réservoir contient 1 000 litres d’eau douce dont la salinité est de 0,12 gL–1.

À la suite d’un accident regrettable, de l’eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute.

On note s la salinité de l’eau du réservoir ; s est une fonction du temps t (exprimé en minutes).

On admet que s est solution de l’équation différentielle

(E) : s’(t) + 0,01 s(t) = 0,39.

1. Résoudre l’équation différentielle (E).

2. Considérant qu’à l’instant t = 0 où débute l’incident la salinité de l’eau du réservoir était de 0,12 gL–1, montrer que l’on a : s(t) = 39 – 38,88 e–0,01t.

3. Déduire du résultat précédent la salinité de l’eau du réservoir 60 minutes après le début de l’incident. Arrondir à 10–2.

4. De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter l’arrivée de l’eau salée si, pour réduire les conséquences de l’incident, la salinité doit rester inférieure à 3,9 gL–1 ? Arrondir à 10–2.

Corrigé

1. L’équation (E) est de la forme y′ + ay = b avec a = 0,01 et b = 0,39.

Les solutions sont donc définies sur par : s(t)=ke0,01t+0,390,01 ; s(t)=ke0,01t+39, où k est une constante réelle quelconque.

2. s(0) = 0,12 se traduit par : k e0 + 39 = 0,12 ; k + 39 = 0,12 ; k = – 38,88.

e0 = 1.

D’où : s(t) = 39 – 38,88 e–0,01t.

3. s(60) = 39 – 38,88 e–0,6 17,66.

4. On cherche t tel que s(t) ≤ – 3,9, ce qui est équivalent à :

Quand on divise (ou multiplie) les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif, l’inégalité change de sens.

– 38,88 e–0,01t + 39 ≤ 3,9 ; – 38,88 e–0,01t ≤ – 35,1 ; e0,01t35,138,88; d’où :

ln (e0,01t)ln35,138,88 ; 0,01tln35,138,88 ; t10,01ln35,138,8810,23.

Le service de surveillance dispose d’environ 10 minutes.