Équations différentielles

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Équations différentielles

Troisième exercice de type Bac – Équation y′′ + ω2y = 0

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : 9y+y=0y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur .

2. Déterminer la solution particulière f vérifiant :

fπ2=2 et fπ2=0.

3. On admet que, pour tous nombres réels a et b,

sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a.

Vérifier que, pour tout x de , f(x)=2sin13x+π3.

4. a. Déterminer une primitive de f sur .

b. Démontrer que la valeur moyenne de f sur [0, 2π] est m=924π

Corrigé

1. L’équation s’écrit : y+19y=0. Cette équation est de la forme : y+ω2y=0 avec ω=13.

Les solutions de (E) sont définies sur par :

f(x)=k1cos13x+k2sin13x, où k1 et k2 sont des constantes réelles quelconques.

2. • fπ2=2 se traduit par : k1cosπ6+k2sinπ6=2 ; k132+k2×12=2 ; k13+k2=22.

cosπ6=32etsinπ6=12

• Pour traduire que fπ2=0, calculons f′(x).

Pour tout x de , f(x)=k13sin13x+k23cos13x. fπ2=0 se traduit par :

Voir les formules à du paragraphe B du chapitre 3.

k13sinπ6+k23cosπ6=0 ; k13×12+k23×32=0 ; k1+k23=0 ; k1=k23.

• D’où (k23)3+k2=22 ; 3k2+k2=22 ; 4k2=22 ; k2=22.

k1=k23 ; k1=62.

Pour tout x de , f(x)=62cos13x+22sin13x.

3. Pour tout x de , 2sin13x+π3=2sin13xcosπ3+sinπ3cos13x ;

sinπ3=32etcosπ3=12

2sin13x+π3=212sin13x+32cos13x ;

2sin13x+π3=22sin13x+62cos13x=f(x).

4. a. Une primitive de f est définie sur par :

On applique le résultat du paragraphe B du chapitre 3. On prend C = 0.

F(x)=213cos13x+π3=32cos13x+π3.

b. La valeur moyenne de f sur [a, b] est :

m=1baabf(x)dx ;

m=12π0a2πf(x)dx=12π32cos13x+π302π ;

m=12π×(32)×cos2π3+π3cosπ3 ;

m=322πcosπcosπ3 ;

m=322π112=322π×32

m=924π1,013.