Équipement de collégiens et lycéens en téléphones portables et nombre de SMS envoyés

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 2 • 5 points

Équipement de collégiens et lycéens en téléphones portables et nombre de SMS envoyés

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux événements suivants :

C : « le jeune choisi est un collégien » ;

L : « le jeune choisi est un lycéen » ;

T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations

Si A et B sont deux événements, p(A) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et pB(A) désigne la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé. On note aussi A¯ l’événement contraire de A.

1. Donner les probabilités : p(C), p(L), p(T), pC(T). (1 point)

2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l’énoncé. (0,5 point)

3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. (0,5 point)

4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable. (0,5 point)

5. a) Calculer p(T  L), en déduire pL(T). (0,5 point)

b) Compléter l’arbre construit dans la question 2. (0,25 point)

partie b

En 2012, en France, selon une étude publiée par l’Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet qu’en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 2 500 et d’écart-type σ = 650.

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.

1. Calculer la probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois. (0,5 point)

2. Calculer p(X  4 000). (0,5 point)

3. Sachant que p(X  a= 0,8, déterminer la valeur de a. On arrondira le résultat à l’unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. La probabilité demandée est la probabilité de l’intersection de deux événements.

4. La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

3. Utilisez la fonction InvN, InvNorm ou FracNormale de la calculatrice.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Donner des probabilités à partir d’un énoncé

D’après l’énoncé :

p(C)=0,6 ; p(L)=0,4 ;p(T)=0,8 ; pC(T)=0,7.

2. Représenter une situation par un arbre pondéré

D’après l’énoncé et la question précédente :

pC(T¯)=1pC(T)=0,3.

D’où l’arbre :

Info

Les probabilités indiquées en rouge sont calculées à la question 5. de cette partie.

matT_1605_09_00C_04

3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que le jeune choisi soit un collégien qui possède un téléphone portable est :

p(CT)=p(C)×pC(T)=0,6×0,7=0,42.

La probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable est 0,42.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable est :

pT(C)=p(CT)p(T)=0,420,8=0,525.

La probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable est 0,525.

5. a) Calculer une probabilité conditionnelle

C et L forment une partition de l’univers, donc :

p(T)=p(TC)+p(TL).

D’où p(TL)=p(T)p(TC)=0,80,42=0,38.

Info

Ce résultat signifie que 95 % des lycéens fréquentant le centre de loisirs possèdent un téléphone portable.

D’où :

pL(T)=p(TL)p(L)=0,380,4

pL(T)=0,95.

b) Compléter un arbre de probabilités

Voir ci-dessus (question 2.) ; les probabilités résultant des calculs de la question précédente sont indiquées en rouge.

partie b

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

p(2000X3000)0,558.

La probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois est égale à 0,558 en arrondissant au millième.

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

p(X4000)=p(X2500)p(2500X4000)0,50,489=0,011.

Notez bien

Puisque X suit une loi normale d’espérance 2500 :

p(X2500)=p(X2500)=0,5.

En arrondissant au millième :

p(X4000)0,011.

3. Déterminer une borne d’un intervalle connaissant une probabilité associée à une loi normale

Si on entre la probabilité 0,8 donnée et les paramètres de la loi de X, la calculatrice affiche que le réel a tel que p(Xa)=0,8.

Le réel a tel que p(Xa)=0,8 est égal à 3 047,0538 soit environ 3 047, en arrondissant à l’unité.

80 % des jeunes envoient au plus 3 047 SMS par mois.