Partie A : Étude de la trajectoire du drone d'Alex

▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ sont $(0;2;\mathrm{0,5})$ et un point $\text{M}(x;y;z)$ appartient à (AB) si et seulement s'il existe $t\in \text{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{\text{AM}}=t\overrightarrow{\text{AB}}$, ce qui équivaut à :

$\left\{\begin{array}{l}x-2=0t\\ y-4=2t\\ z-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,5}t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4+2t\\ z=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,5}t\end{array}\right.$.

Ce système constitue une représentation paramétrique de la droite (AB).

▶ 2. a) Vérifier qu'un vecteur est normal à un plan

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{PQ}}$ et $\overrightarrow{\text{PU}}$ sont respectivement $(0;1;1)$ et $(10;0;0)$. De plus $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{PQ}}=0\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{PU}}=0\times 10+1\times 0+(-1)\times 0=0$. Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQU). C'est pourquoi c'est un vecteur normal à ce plan.

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

$\overrightarrow{n}$(0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (PQU), donc une équation cartésienne de ce plan est de la forme :

$0x+1y+(-1)z+d=0\iff y-z+d=0$.

Comme $\text{P}\in (\text{PQU)}$ : $10+d=0\text{, d'où }d=-10$.

Une équation cartésienne du plan (PQU) est donc $y-z-10=0$.

▶ 3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan

Cherchons s'il existe un réel t tel que $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4+2t\\ z=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,5}t\end{array}\right.$ et $y-z-10=0$.

On trouve : $\begin{array}{l}4+2t-\mathrm{0,25}-\mathrm{0,5}t-10=0\iff \mathrm{1,5}t=\mathrm{6,25}\\ \iff t=\frac{\mathrm{6,25}}{\mathrm{1,5}}=\frac{\mathrm{12,5}}{3}.\end{array}$

Remplaçons dans les équations paramétriques de la droite (AB) :

$x=2\text{;}y=4+\frac{25}{3}=\frac{12}{3}+\frac{25}{3}=\frac{37}{3}\text{;}z=\mathrm{0,25}+\frac{\mathrm{6,25}}{3}=\frac{\mathrm{0,75}}{3}+\frac{\mathrm{6,25}}{3}=\frac{7}{3}.$

Il en résulte que le point de coordonnées $\left(2;\frac{37}{3};\frac{7}{3}\right)$ est l'intersection de la droite (AB) et du plan (PQU).

▶ 4. Exploiter l'intersection d'une droite et d'un plan

L'obstacle culmine à 10 mètres du sol. La trajectoire du drone d'Alex rencontre le plan de l'obstacle à l'altitude $\frac{7}{3}\times 10$ m, soit plus de 10 mètres. C'est pourquoi ce drone ne rencontre pas l'obstacle.

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

▶ 1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur

$\overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CN}}=-a\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+b\overrightarrow{\text{CD}}$.

On a $\overrightarrow{\text{AB}}$$(0;2;\mathrm{0,5})$, et de plus les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont respectivement $(2;2;0)$ et $(-2;0;0)$. On obtient donc les coordonnées de $\overrightarrow{\text{MN}}:$

$(-a\times 0+2+b\times (-2);-a\times 2+2+b\times 0;-a\times \mathrm{0,5}+0+b\times 0)$.

Soit $\overrightarrow{\text{MN}}(2-2b;-2a+2;-\mathrm{0,5}a)$, ce qu'il fallait démontrer.

▶ 2. Utiliser le produit scalaire pour caractériser l'orthogonalité de droites

La distance MN est minimale si et seulement si $(\text{MN)}\perp (\text{AB)}$ et $(\text{MN)}\perp (\text{CD)}$.

$\begin{array}{l}(\text{MN)}\perp (\text{AB)}\iff \overrightarrow{\text{MN}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=0\\ \iff 0+2(-2a+2)-\mathrm{0,25}a=0\\ \iff -\mathrm{4,25}a=-4\\ \iff a=\frac{4}{4,25}=\frac{4\times 4}{4\times 4,25}=\frac{16}{17}.\end{array}$

$(\text{MN)}\perp (\text{CD)}\iff \overrightarrow{\text{MN}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=0\iff -2(2-2b)=0\iff b=1$.

Ce qu'il fallait démontrer.

▶ 3. Calculer une distance

Calculons ${\text{MN}}^2=\overrightarrow{\text{MN}}\cdot \overrightarrow{\text{MN}}$ lorsque $a=\frac{16}{17}$ et $b=1$.

$\overrightarrow{\text{MN}}$ a alors pour coordonnées $\left(0;-\frac{32}{17}+2;-\frac{8}{17}\right)$, soit $\left(0;\frac{2}{17};-\frac{8}{17}\right)$.

Donc ${\text{MN}}^2={\left(\frac{2}{17}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{17}\right)}^2=\frac{68}{{17}^2}$.

On en déduit : $\text{MN}=\frac{\sqrt{68}}{17}\text{ et donc : MN}\approx \mathrm{0,49}$.

La distance minimale entre les deux drones est donc de 4,9 mètres, donc la consigne est respectée.