Fonction exponentielle

Ens. spécifique

matT_1706_07_08C

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 1 • 7 points • ⏱ 1 h 30

Étude complète de l'aire d'un domaine

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique

Partie A

On considère la fonction ℎ définie sur l'intervalle [0 + ∞[ par :

ℎ(x) = xe−x.

▶ 1. Déterminer la limite de la fonction ℎ en + ∞.

▶ 2. Étudier les variations de la fonction ℎ sur l'intervalle [0 + ∞[ et dresser son tableau de variations.

▶ 3. L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction ℎ.

a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, on a :

ℎ(x) = e−x − ℎ′(x)

où ℎ′ désigne la fonction dérivée de ℎ.

b) Déterminer une primitive sur l'intervalle [0 + ∞[ de la fonction x ↦ e−x.

c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction ℎ sur l'intervalle [0 + ∞[.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l'intervalle [0 + ∞[ par :

f(x) = xe−x + ln(x + 1) et g(x) = ln(x + 1).

On note $C$ f et $C$ g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.

matT_1706_07_01C_01

▶ 1. Pour un nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, on appelle M le point de coordonnées (x f(x)) et N le point de coordonnées (x g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse x appartenant respectivement aux courbes $C$ f et $C$ g.

a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

▶ 2. Soit λ un réel appartenant à l'intervalle [0 + ∞[. On note $D$ λ le domaine du plan délimité par les courbes $C$ f et $C$ g et par les droites d'équations x = 0 et x = λ.

a) Hachurer le domaine $D$ λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.

b) On note $A$ λ l'aire du domaine $D$ λ, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :

$A_{λ} = 1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}}$ .

c) Calculer la limite de $A$ λ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.

▶ 3. On considère l'algorithme suivant

S11_algo_001

a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 3. a) Identifiez le terme h(x) dans l'expression de h′(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l'égalité ainsi obtenue.

▶ 3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h′ sur l'intervalle [0 + ∞[ est h.

Partie B

▶ 1. a) Rappelez-vous qu'étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA yA) et (xB yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : $\sqrt[]{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

▶ 3. a) Déroulez l'algorithme en présentant les différentes étapes à l'aide d'un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de $1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}}$ et vérification ou non de la condition de l'instruction « Tant que ».

Corrigé

partie a

▶ 1. Déterminer une limite E8c

Pour tout réel x > 0, on a $h (x) = x e^{- x} = \frac{x}{e^{x}} = \frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}$ . Par croissances comparées, on a $lim_{x \to + ∞} \frac{e^{x}}{x} = + ∞$ et, par suite, $lim_{x \to + ∞} \frac{1}{\frac{e^{x}}{x}} = 0$ .

La limite de la fonction h en + ∞ est donc 0.

▶ 2. Étudier les variations d'une fonction E6c • E6f • E8e

à noter

Si u et v sont dérivables sur I alors :

eu est dérivable sur I et $(e^{u})^{'} = u^{'} \times e^{u}$

le produit u × v est dérivable sur I et (u × v)′ = u′ × v + u × v′.

La fonction x ↦ - x est dérivable sur ℝ et par suite sur [0 + ∞[. Par composition, la fonction $x \mapsto e^{- x}$ est alors dérivable sur [0 + ∞[. La fonction x ↦ x est également dérivable sur ℝ et donc sur [0 + ∞[. Par produit, la fonction h est ainsi dérivable sur [0 + ∞[.

On a pour tout réel x positif :

$\begin{matrix} h^{'} (x) = 1 \times e^{- x} + x \times (- 1 \times e^{- x}) \\ = e^{- x} - x e^{- x} \\ = e^{- x} (1 - x) . \end{matrix}$

Comme e–x est strictement positif, le signe de h′(x) est celui de 1 – x. Or, 1 – x = 0 ⇔ x = 1 et 1 – x 0 ⇔ 1 x. Ainsi, pour tout réel $x \in [0 1 [$ , comme 1 – x > 0, h′(x) > 0 et la fonction h est strictement croissante sur [0 1]. De même, pour tout réel $x \in] 1 + ∞ [$ , comme 1 – x 0, h′(x) 0 et la fonction h est strictement décroissante sur [1 + ∞[.

à noter

$h (1) = 1 \times e^{- 1} = e^{- 1}$ .

La fonction h est positive sur [0 + ∞[.

En prenant en compte le fait que $h (0) = 0 \times e^{- 0} = 0$ et que $lim_{x \to + ∞} h (x) = 0$ (question 1.), le tableau de variations de la fonction h sur [0 + ∞[ est :

matT_1706_07_01C_tab1

▶ 3. a) Vérifier une égalité

Soit x un réel positif. D'après la question précédente, on a $h^{'} (x) = e^{- x} - x \times e^{- x}$ .

Or, par définition, $h (x) = x e^{- x}$ . Par suite, $h^{'} (x) = e^{- x} - h (x)$ qui s'écrit également $h (x) = e^{- x} - h^{'} (x)$ . On a donc pour tout réel x positif $h (x) = e^{- x} - h^{'} (x)$ .

b) Déterminer une primitive sur un intervalle E7b • E11b • E11d

à retenir

Si u est dérivable sur un intervalle I, une primitive sur I de $u^{'} \times e^{u}$ est eu.

La fonction $x \mapsto e^{- x}$ étant dérivable sur [0 + ∞[ (question 2.), elle est continue sur cet intervalle et elle y admet des primitives.

Comme pour tout réel x positif, $e^{- x} = - (- 1 \times e^{- x})$ , une primitive sur [0 + ∞[ de la fonction $x \mapsto e^{- x}$ est $x \mapsto - e^{- x}$ .

c) Déterminer une primitive sur un intervalle E11a

D'après la question 3. a), pour tout réel x positif, on a $h (x) = e^{- x} - h^{'} (x)$ .

D'après la question 3. b), une primitive sur [0 + ∞[ de la fonction $x \mapsto e^{- x}$ est $x \mapsto - e^{- x}$ .

Par définition d'une primitive, une primitive sur [0 + ∞[ de h′ est h.

Par conséquent, une primitive de la fonction h sur [0 + ∞[ est $x \mapsto - e^{- x} - h (x)$ .

partie b

▶ 1. a) Déterminer une valeur maximale

Soit x un réel positif.

La distance MN est égale à :

$\begin{matrix} \sqrt[]{{(x_{M} - x_{N})}^{2} + {(y_{M} - y_{N})}^{2}} = \sqrt[]{{(x - x)}^{2} + {(f (x) - g (x))}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(x e^{- x} + ln (x + 1) - ln (x + 1))}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(x e^{- x})}^{2}} . \end{matrix}$

Comme x ≥ 0 et $e^{- x} > 0$ , la distance MN est égale à $x e^{- x}$ qui n'est rien d'autre que h(x).

D'après la question 2. de la partie A (tableau de variations de la fonction h sur [0 + ∞[), on en déduit que la distance MN est maximale pour x = 1 et que cette distance est égale à e–1.

b) Placer un point sur une courbe dans un repère

Les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN ont pour abscisse x = 1. Le point M appartenant à la courbe représentative de la fonction f et le point N appartenant à la courbe représentative de la fonction g, le graphique complété est :

matT_1706_07_01C_06

▶ 2. a) Identifier un domaine du plan

Le domaine du plan délimité par les courbes $C$ f et $C$ g et par les droites d'équations x = 0 et x = λ est grisé sur le graphique suivant :

matT_1706_07_01C_07

b) Calculer une intégrale E7a • E13 • E14

Pour tout réel x positif, on a x + 1 ≥ 0 + 1 > 0. La fonction x ↦ x + 1 étant strictement positive et dérivable sur l'intervalle [0 + ∞[, la fonction g : x ↦ ln(x + 1) est donc, par composition, dérivable sur [0 + ∞[ et la fonction f l'est également par somme de deux fonctions dérivables (question 2. de la partie A). Les fonctions f et g étant dérivables sur [0 + ∞[, ces fonctions sont continues sur [0 + ∞[ et donc sur [0 λ].

Pour tout réel x positif, on a $f (x) = x e^{- x} + ln (x + 1) = h (x) + g (x)$ . Or, d'après la question 2. de la partie A, la fonction h est positive sur [0 + ∞[. Par suite, on a f(x) ≥ 0 + g(x) = g(x). Sur l'intervalle [0 + ∞[, donc sur [0 λ], f(x) ≥ g(x).

Par ces deux points, il découle que l'aire $A$ λ du domaine $D$ λ, exprimée en unités d'aires, vaut :

$A_{λ} = \int_{0}^{λ} (f (x) - g (x)) d x = \int_{0}^{λ} h (x) d x$ .

D'après la question 3. c) de la partie A, une primitive de la fonction h sur [0 + ∞[ donc sur [0 λ] est $x \mapsto - e^{- x} - h (x)$ . Il s'ensuit que :

rappel

e0 = 1 et pour tout réel c, $e^{- c} = \frac{1}{e^{c}}$ .

$\begin{matrix} A_{λ} = \int_{0}^{λ} h (x) d x = {[- e^{- x} - h (x)]}_{0}^{λ} = (- e^{- λ} - h (λ)) - (- e^{0} - h (0)) \\ = - e^{- λ} - λ e^{- λ} - (- 1 - 0) \\ = 1 - (λ + 1) e^{- λ} \\ = 1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}} . \end{matrix}$

Ainsi, pour tout réel λ appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, $A_{λ} = 1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}}$ .

c) Calculer une limite et interpréter E2c • E8c

Pour tout réel λ positif, on a : $A_{λ} = 1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}} = 1 - \frac{λ}{e^{λ}} - \frac{1}{e^{λ}}$ .

Similairement à la question 1. de la partie A, on a $lim_{λ \to + ∞} \frac{λ}{e^{λ}} = 0$ .

Comme $lim_{λ \to + ∞} e^{λ} = + ∞$ , on a par quotient $lim_{λ \to + ∞} \frac{1}{e^{λ}} = 0$ .

On en conclut par différence que : $lim_{λ \to + ∞} A_{λ} = 1 - 0 - 0 = 1$ .

Sur l'intervalle [0 + ∞[, l'aire du domaine du plan délimité par les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ est égale à une unité d'aire.

▶ 3. a) Dérouler un algorithme

Lors de la phase d'initialisation, la valeur 0,8 est saisie pour la variable S (énoncé) et la variable λ prend la valeur 0. Puis la phase de traitement débute. Présentons les différentes étapes de cette phase sous forme d'un tableau :

λ	$1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}}$	Condition : $1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}} 0,8$
0	$1 - \frac{0 + 1}{e^{0}} = 0$	Vrai
1	$1 - \frac{1 + 1}{e^{1}} \approx 0,26424$	Vrai
2	$1 - \frac{2 + 1}{e^{2}} \approx 0,59399$	Vrai
3	$1 - \frac{3 + 1}{e^{3}} \approx 0,80085$	Faux

La condition du « Tant que » n'étant plus vérifiée, la phase de traitement est terminée. La dernière phase, phase de sortie, s'exécute alors : l'algorithme affiche la dernière valeur prise par la variable λ à savoir 3.

b) Comprendre le rôle d'un algorithme

La valeur de λ étant initialisée à 0 et cette valeur étant incrémentée de 1 si la condition du « Tant que » est vérifiée (λ prend la valeur λ + 1), λ ne prend que des valeurs entières.

La condition du « Tant que » qui est $1 - \frac{λ + 1}{e^{λ}} S$ s'écrit également, à l'aide des notations utilisées dans la question 2., $A$ λ S. Par suite, pendant la phase de traitement, tant que l'aire $A$ λ du domaine $D$ λ (exprimée en unités d'aire) est strictement inférieure à S, on incrémente λ de 1. Dès que cette condition n'est plus vérifiée, à savoir $A$ λ ≥ S, la phase de traitement est terminée et l'algorithme affiche la dernière valeur prise par λ.

Cet algorithme affiche donc la plus petite valeur entière de λ pour laquelle l'aire $A$ λ du domaine $D$ λ (exprimée en unités d'aire) est supérieure ou égale à S.

Etude complète de l'aire d'un domaine

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B