Fonction exponentielle
Ens. spécifique
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matT_1706_07_08C
France métropolitaine • Juin 2017
Exercice 1 • 7 points • ⏱ 1 h 30
Étude complète de l'aire d'un domaine
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique
Partie A
On considère la fonction ℎ définie sur l'intervalle [0 + ∞[ par :
ℎ(x) = xe−x.
▶ 1. Déterminer la limite de la fonction ℎ en + ∞.
▶ 2. Étudier les variations de la fonction ℎ sur l'intervalle [0 + ∞[ et dresser son tableau de variations.
▶ 3. L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction ℎ.
a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, on a :
ℎ(x) = e−x − ℎ′(x)
où ℎ′ désigne la fonction dérivée de ℎ.
b) Déterminer une primitive sur l'intervalle [0 + ∞[ de la fonction x ↦ e−x.
c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction ℎ sur l'intervalle [0 + ∞[.
Partie B
On définit les fonctions f et g sur l'intervalle [0 + ∞[ par :
f(x) = xe−x + ln(x + 1) et g(x) = ln(x + 1).
On note f et g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.
▶ 1. Pour un nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, on appelle M le point de coordonnées (x f(x)) et N le point de coordonnées (x g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse x appartenant respectivement aux courbes f et g.
a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.
b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.
▶ 2. Soit λ un réel appartenant à l'intervalle [0 + ∞[. On note λ le domaine du plan délimité par les courbes f et g et par les droites d'équations x = 0 et x = λ.
a) Hachurer le domaine λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.
b) On note λ l'aire du domaine λ, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :
.
c) Calculer la limite de λ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.
▶ 3. On considère l'algorithme suivant
a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. a) Identifiez le terme h(x) dans l'expression de h′(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l'égalité ainsi obtenue.
▶ 3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h′ sur l'intervalle [0 + ∞[ est h.
Partie B
▶ 1. a) Rappelez-vous qu'étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA yA) et (xB yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : .
▶ 3. a) Déroulez l'algorithme en présentant les différentes étapes à l'aide d'un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de et vérification ou non de la condition de l'instruction « Tant que ».
Corrigé
partie a
▶ 1. Déterminer une limite E8c
Pour tout réel x > 0, on a . Par croissances comparées, on a et, par suite, .
La limite de la fonction h en + ∞ est donc 0.
▶ 2. Étudier les variations d'une fonction E6c • E6f • E8e
à noter
Si u et v sont dérivables sur I alors :
eu est dérivable sur I et
le produit u × v est dérivable sur I et (u × v)′ = u′ × v + u × v′.
La fonction x ↦ - x est dérivable sur ℝ et par suite sur [0 + ∞[. Par composition, la fonction est alors dérivable sur [0 + ∞[. La fonction x ↦ x est également dérivable sur ℝ et donc sur [0 + ∞[. Par produit, la fonction h est ainsi dérivable sur [0 + ∞[.
On a pour tout réel x positif :
Comme e–x est strictement positif, le signe de h′(x) est celui de 1 – x. Or, 1 – x = 0 ⇔ x = 1 et 1 – x 0 ⇔ 1 x. Ainsi, pour tout réel , comme 1 – x > 0, h′(x) > 0 et la fonction h est strictement croissante sur [0 1]. De même, pour tout réel , comme 1 – x 0, h′(x) 0 et la fonction h est strictement décroissante sur [1 + ∞[.
à noter
.
La fonction h est positive sur [0 + ∞[.
En prenant en compte le fait que et que (question 1.), le tableau de variations de la fonction h sur [0 + ∞[ est :
▶ 3. a) Vérifier une égalité
Soit x un réel positif. D'après la question précédente, on a .
Or, par définition, . Par suite, qui s'écrit également . On a donc pour tout réel x positif .
b) Déterminer une primitive sur un intervalle E7b • E11b • E11d
à retenir
Si u est dérivable sur un intervalle I, une primitive sur I de est eu.
La fonction étant dérivable sur [0 + ∞[ (question 2.), elle est continue sur cet intervalle et elle y admet des primitives.
Comme pour tout réel x positif, , une primitive sur [0 + ∞[ de la fonction est .
c) Déterminer une primitive sur un intervalle E11a
D'après la question 3. a), pour tout réel x positif, on a .
D'après la question 3. b), une primitive sur [0 + ∞[ de la fonction est .
Par définition d'une primitive, une primitive sur [0 + ∞[ de h′ est h.
Par conséquent, une primitive de la fonction h sur [0 + ∞[ est .
partie b
▶ 1. a) Déterminer une valeur maximale
Soit x un réel positif.
La distance MN est égale à :
Comme x ≥ 0 et , la distance MN est égale à qui n'est rien d'autre que h(x).
D'après la question 2. de la partie A (tableau de variations de la fonction h sur [0 + ∞[), on en déduit que la distance MN est maximale pour x = 1 et que cette distance est égale à e–1.
b) Placer un point sur une courbe dans un repère
Les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN ont pour abscisse x = 1. Le point M appartenant à la courbe représentative de la fonction f et le point N appartenant à la courbe représentative de la fonction g, le graphique complété est :
▶ 2. a) Identifier un domaine du plan
Le domaine du plan délimité par les courbes f et g et par les droites d'équations x = 0 et x = λ est grisé sur le graphique suivant :
b) Calculer une intégrale E7a • E13 • E14
Pour tout réel x positif, on a x + 1 ≥ 0 + 1 > 0. La fonction x ↦ x + 1 étant strictement positive et dérivable sur l'intervalle [0 + ∞[, la fonction g : x ↦ ln(x + 1) est donc, par composition, dérivable sur [0 + ∞[ et la fonction f l'est également par somme de deux fonctions dérivables (question 2. de la partie A). Les fonctions f et g étant dérivables sur [0 + ∞[, ces fonctions sont continues sur [0 + ∞[ et donc sur [0 λ].
Pour tout réel x positif, on a . Or, d'après la question 2. de la partie A, la fonction h est positive sur [0 + ∞[. Par suite, on a f(x) ≥ 0 + g(x) = g(x). Sur l'intervalle [0 + ∞[, donc sur [0 λ], f(x) ≥ g(x).
Par ces deux points, il découle que l'aire λ du domaine λ, exprimée en unités d'aires, vaut :
.
D'après la question 3. c) de la partie A, une primitive de la fonction h sur [0 + ∞[ donc sur [0 λ] est . Il s'ensuit que :
rappel
e0 = 1 et pour tout réel c, .
Ainsi, pour tout réel λ appartenant à l'intervalle [0 + ∞[, .
c) Calculer une limite et interpréter E2c • E8c
Pour tout réel λ positif, on a : .
Similairement à la question 1. de la partie A, on a .
Comme , on a par quotient .
On en conclut par différence que : .
Sur l'intervalle [0 + ∞[, l'aire du domaine du plan délimité par les courbes et est égale à une unité d'aire.
▶ 3. a) Dérouler un algorithme
Lors de la phase d'initialisation, la valeur 0,8 est saisie pour la variable S (énoncé) et la variable λ prend la valeur 0. Puis la phase de traitement débute. Présentons les différentes étapes de cette phase sous forme d'un tableau :
λ | Condition : | |
---|---|---|
0 | Vrai | |
1 | Vrai | |
2 | Vrai | |
3 | Faux |
La condition du « Tant que » n'étant plus vérifiée, la phase de traitement est terminée. La dernière phase, phase de sortie, s'exécute alors : l'algorithme affiche la dernière valeur prise par la variable λ à savoir 3.
b) Comprendre le rôle d'un algorithme
La valeur de λ étant initialisée à 0 et cette valeur étant incrémentée de 1 si la condition du « Tant que » est vérifiée (λ prend la valeur λ + 1), λ ne prend que des valeurs entières.
La condition du « Tant que » qui est s'écrit également, à l'aide des notations utilisées dans la question 2., λ S. Par suite, pendant la phase de traitement, tant que l'aire λ du domaine λ (exprimée en unités d'aire) est strictement inférieure à S, on incrémente λ de 1. Dès que cette condition n'est plus vérifiée, à savoir λ ≥ S, la phase de traitement est terminée et l'algorithme affiche la dernière valeur prise par λ.
Cet algorithme affiche donc la plus petite valeur entière de λ pour laquelle l'aire λ du domaine λ (exprimée en unités d'aire) est supérieure ou égale à S.