Etude complète de l'aire d'un domaine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 1 • 7 points • 1 h 30

Étude complète de l’aire d’un domaine

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique

 

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + [ par :

(x= xex.

1. Déterminer la limite de la fonction en + .

2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; + [ et dresser son tableau de variations.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction .

a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on a :

(x= ex(x)

désigne la fonction dérivée de .

b) Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; + [ de la fonction x  ex.

c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction  sur l’intervalle [0 ; + [.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; + [ par :

f(x= xex + ln(x + 1) et g(x= ln(x + 1).

On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.

matT_1706_07_01C_01

1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on appelle M le point de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : M et N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes Cf et Cg.

a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; + [. On note Dλ le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.

a) Hachurer le domaine Dλ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.

b) On note Aλ l’aire du domaine Dλ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers +  et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant  

S11_algo_001

a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Les clés du sujet

Partie A

3. a) Identifiez le terme h(x) dans l’expression de h(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l’égalité ainsi obtenue.

3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h sur l’intervalle [0 ; + [ est h.

Partie B

1. a) Rappelez-vous qu’étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : (xBxA)2+(yByA)2.

3. a) Déroulez l’algorithme en présentant les différentes étapes à l’aide d’un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de 1λ+1eλ et vérification ou non de la condition de l’instruction « Tant que ».