Fonction exponentielle
Ens. spécifique
11
matT_1706_07_08C
France métropolitaine • Juin 2017
Exercice 1 • 7 points • ⏱ 1 h 30
Étude complète de l’aire d’un domaine
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique
Partie A
On considère la fonction ℎ définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :
ℎ(x) = xe−x.
▶ 1. Déterminer la limite de la fonction ℎ en + ∞.
▶ 2. Étudier les variations de la fonction ℎ sur l’intervalle [0 ; + ∞[ et dresser son tableau de variations.
▶ 3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction ℎ.
a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞[, on a :
ℎ(x) = e−x − ℎ′(x)
où ℎ′ désigne la fonction dérivée de ℎ.
b) Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; + ∞[ de la fonction x ↦ e−x.
c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction ℎ sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
Partie B
On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :
f(x) = xe−x + ln(x + 1) et g(x) = ln(x + 1).
On note f et g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.
▶ 1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞[, on appelle M le point de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : M et N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes f et g.
a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.
b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.
▶ 2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞[. On note λ le domaine du plan délimité par les courbes f et g et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.
a) Hachurer le domaine λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.
b) On note λ l’aire du domaine λ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :
.
c) Calculer la limite de λ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.
▶ 3. On considère l’algorithme suivant
a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. a) Identifiez le terme h(x) dans l’expression de h′(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l’égalité ainsi obtenue.
▶ 3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h′ sur l’intervalle [0 ; + ∞[ est h.
Partie B
▶ 1. a) Rappelez-vous qu’étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : .
▶ 3. a) Déroulez l’algorithme en présentant les différentes étapes à l’aide d’un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de et vérification ou non de la condition de l’instruction « Tant que ».
