Annale corrigée Exercice Ancien programme

Etude complète de l'aire d'un domaine

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 1 • 7 points • 1 h 30

Étude complète de l'aire d'un domaine

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique

 

Partie A

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0  + [ par :

(x= xex.

1. Déterminer la limite de la fonction en + .

2. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle [0  + [ et dresser son tableau de variations.

3. L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction .

a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0  + [, on a :

(x= ex(x)

désigne la fonction dérivée de .

b) Déterminer une primitive sur l'intervalle [0  + [ de la fonction x  ex.

c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction  sur l'intervalle [0  + [.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l'intervalle [0  + [ par :

f(x= xex + ln(x + 1) et g(x= ln(x + 1).

On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.

matT_1706_07_01C_01

1. Pour un nombre réel x appartenant à l'intervalle [0  + [, on appelle M le point de coordonnées (x  f(x)) et N le point de coordonnées (x  g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse x appartenant respectivement aux courbes Cf et Cg.

a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l'intervalle [0  + [. On note Dλ le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d'équations x = 0 et x = λ.

a) Hachurer le domaine Dλ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.

b) On note Aλ l'aire du domaine Dλ, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :

Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers +  et interpréter le résultat.

3. On considère l'algorithme suivant  

S11_algo_001

a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Les clés du sujet

Partie A

3. a) Identifiez le terme h(x) dans l'expression de h(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l'égalité ainsi obtenue.

3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h sur l'intervalle [0   + [ est h.

Partie B

1. a) Rappelez-vous qu'étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA   yA) et (xB   yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : (xBxA)2+(yByA)2.

3. a) Déroulez l'algorithme en présentant les différentes étapes à l'aide d'un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de 1λ+1eλ et vérification ou non de la condition de l'instruction « Tant que ».

Corrigé

partie a

1. Déterminer une limite  E8c 

Pour tout réel x > 0, on a h(x)=xex=xex=1exx. Par croissances comparées, on a limx+exx=+ et, par suite, limx+1exx=0.

La limite de la fonction h en +  est donc 0.

2. Étudier les variations d'une fonction  E6c • E6f • E8e 

à noter

Si u et v sont dérivables sur I alors :

eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu 

le produit u × v est dérivable sur I et (u × v) = u × v + u × v.

La fonction x -x est dérivable sur  et par suite sur [0   + [. Par composition, la fonction xex est alors dérivable sur [0   + [. La fonction x x est également dérivable sur  et donc sur [0   + [. Par produit, la fonction h est ainsi dérivable sur [0   + [.

On a pour tout réel x positif :

h(x)=1×ex+x×(1×ex)=exxex=ex(1x).

Comme ex est strictement positif, le signe de h(x) est celui de 1 – x. Or, 1 – x = 0  x = 1 et 1 – x  0  1  x. Ainsi, pour tout réel x[ 1[, comme 1 – x > 0, h(x) > 0 et la fonction h est strictement croissante sur [0   1]. De même, pour tout réel x] +[, comme 1 – x  0, h(x 0 et la fonction h est strictement décroissante sur [1   + [.

à noter

h(1)=1×e1=e1.

La fonction h est positive sur [0   + [.

En prenant en compte le fait que h(0)=0×e0=0 et que limx+h(x)=0 (question 1.), le tableau de variations de la fonction h sur [0   + [ est :

matT_1706_07_01C_tab1

3. a) Vérifier une égalité

Soit x un réel positif. D'après la question précédente, on a h(x)=exx×ex.

Or, par définition, h(x)=xex. Par suite, h(x)=exh(x) qui s'écrit également h(x)=exh(x). On a donc pour tout réel x positif h(x)=exh(x).

b) Déterminer une primitive sur un intervalle  E7b • E11b • E11d 

à retenir

Si u est dérivable sur un intervalle I, une primitive sur I de u×eu est eu.

La fonction xex étant dérivable sur [0   + [ (question 2.), elle est continue sur cet intervalle et elle y admet des primitives.

Comme pour tout réel x positif, ex=(1×ex), une primitive sur [0   + [ de la fonction xex est x ex.

c) Déterminer une primitive sur un intervalle  E11a 

D'après la question 3. a), pour tout réel x positif, on a h(x)=exh(x).

D'après la question 3. b), une primitive sur [0   + [ de la fonction xex est xex.

Par définition d'une primitive, une primitive sur [0   + [ de h est h.

Par conséquent, une primitive de la fonction h sur [0   + [ est x exh(x).

partie b

1. a) Déterminer une valeur maximale

Soit x un réel positif.

La distance MN est égale à :

(xMxN)2+(yMyN)2=(xx)2+(f(x)g(x))2=(xex+ln(x+1)ln(x+1))2=(xex)2.

Comme x 0 et ex>0, la distance MN est égale à xex qui n'est rien d'autre que h(x).

D'après la question 2. de la partie A (tableau de variations de la fonction h sur [0   + [), on en déduit que la distance MN est maximale pour x = 1 et que cette distance est égale à e–1.

b) Placer un point sur une courbe dans un repère

Les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN ont pour abscisse x = 1. Le point M appartenant à la courbe représentative de la fonction f et le point N appartenant à la courbe représentative de la fonction g, le graphique complété est :

matT_1706_07_01C_06

2. a) Identifier un domaine du plan

Le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d'équations x = 0 et x = λ est grisé sur le graphique suivant :

matT_1706_07_01C_07

b) Calculer une intégrale  E7a • E13 • E14 

Pour tout réel x positif, on a x + 1 0 + 1 > 0. La fonction x  x + 1 étant strictement positive et dérivable sur l'intervalle [0   + [, la fonction g : x ln(x + 1) est donc, par composition, dérivable sur [0   + [ et la fonction f l'est également par somme de deux fonctions dérivables (question 2. de la partie A). Les fonctions f et g étant dérivables sur [0   + [, ces fonctions sont continues sur [0   + [ et donc sur [0   λ].

Pour tout réel x positif, on a f(x)=xex+ln(x+1)=h(x)+g(x). Or, d'après la question 2. de la partie A, la fonction h est positive sur [0   + [. Par suite, on a f(x) 0 + g(x= g(x). Sur l'intervalle [0   + [, donc sur [0   λ], f(x) g(x).

Par ces deux points, il découle que l'aire Aλ du domaine Dλ, exprimée en unités d'aires, vaut :

Aλ=0λ(f(x)g(x))dx=0λh(x)dx.

D'après la question 3. c) de la partie A, une primitive de la fonction h sur [0   + [ donc sur [0   λ] est xexh(x). Il s'ensuit que :

rappel

e0 = 1 et pour tout réel c, ec=1ec.

Aλ=0λh(x)dx=[ exh(x)]0λ=( eλh(λ))( e0h(0))= eλλeλ( 10)=1(λ+1)eλ=1λ+1eλ.

Ainsi, pour tout réel λ appartenant à l'intervalle [0   + [, Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer une limite et interpréter  E2c • E8c 

Pour tout réel λ positif, on a : Aλ=1λ+1eλ=1λeλ1eλ.

Similairement à la question 1. de la partie A, on a limλ+λeλ=0.

Comme limλ+eλ=+, on a par quotient limλ+1eλ=0.

On en conclut par différence que : limλ+Aλ=100=1.

Sur l'intervalle [0   + [, l'aire du domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg est égale à une unité d'aire.

3. a) Dérouler un algorithme

Lors de la phase d'initialisation, la valeur 0,8 est saisie pour la variable S (énoncé) et la variable λ prend la valeur 0. Puis la phase de traitement débute. Présentons les différentes étapes de cette phase sous forme d'un tableau :

λ

1λ+1eλ

Condition : 1λ+1eλ0,8

0

10+1e0=0

Vrai

1

11+1e10,26424

Vrai

2

12+1e20,59399

Vrai

3

13+1e30,80085

Faux

La condition du « Tant que » n'étant plus vérifiée, la phase de traitement est terminée. La dernière phase, phase de sortie, s'exécute alors : l'algorithme affiche la dernière valeur prise par la variable λ à savoir 3.

b) Comprendre le rôle d'un algorithme

La valeur de λ étant initialisée à 0 et cette valeur étant incrémentée de 1 si la condition du « Tant que » est vérifiée (λ prend la valeur λ + 1), λ ne prend que des valeurs entières.

La condition du « Tant que » qui est 1λ+1eλS s'écrit également, à l'aide des notations utilisées dans la question 2., Aλ S. Par suite, pendant la phase de traitement, tant que l'aire Aλ du domaine Dλ (exprimée en unités d'aire) est strictement inférieure à S, on incrémente λ de 1. Dès que cette condition n'est plus vérifiée, à savoir Aλ S, la phase de traitement est terminée et l'algorithme affiche la dernière valeur prise par λ.

Cet algorithme affiche donc la plus petite valeur entière de λ pour laquelle l'aire Aλ du domaine Dλ (exprimée en unités d'aire) est supérieure ou égale à S.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner