Analyse • Suites numériques

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matT_2109_07_00C

France métropolitaine, septembre 2021 Exercice 4A

Étude conjointe de deux suites, récurrence et convergence

55 min

5 points

Intérêt du sujet • On étudie ici deux suites imbriquées, c’est-à-dire que chaque terme est défini à partir du terme précédent de chacune des deux suites. L’objectif est de montrer, en utilisant deux suites auxiliaires, que ces deux suites convergent vers la même limite et de trouver cette limite commune.

On considère les suites (u_n) et (v_n) définies par :

u₀ = 16 ; v₀ = 5

et, pour tout entier naturel n :

$\{\begin{matrix} u_{n + 1} = \frac{3 u_{n} + 2 v_{n}}{5} \\ v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} \end{matrix}$

▶ 1. Calculer u₁ et v₁.

▶ 2. On considère la suite (w_n) définie pour tout entier naturel n par :

w_n = u_n - v_n.

a) Démontrer que la suite (w_n) est géométrique de raison 0,1.

En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de w_n en fonction de n.

b) Préciser le signe de la suite (w_n) et la limite de cette suite.

▶ 3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u_n₊₁ - u_n = - 0,4 w_n.

b) En déduire que la suite (u_n) est décroissante.

On peut démontrer de la même manière que la suite (v_n) est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu’on a alors :

pour tout entier naturel n, v_n ≥ v₀ = 5.

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u_n ≥ 5.

En déduire que la suite (u_n) est convergente. On appelle l la limite de (u_n).

On peut démontrer de la même manière que la suite (v_n) est convergente. On admet ce résultat, et on appelle l′ la limite de (v_n).

▶ 4. a) Démontrer que l = l′.

b) On considère la suite (c_n) définie pour tout entier naturel n par :

c_n = 5u_n + 4v_n.

Démontrer que la suite (c_n) est constante, c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, on a c_n₊₁ = c_n.

En déduire que, pour tout entier naturel, c_n = 100.

c) Déterminer la valeur commune des limites l et l′.

Les clés du sujet

▶ 2. a) Montrez qu’il existe un réel q (à déterminer) tel que, pour tout n, w_n₊₁ = q w_n.

▶ 3. c) Appliquez le théorème de convergence monotone.

▶ 4. a) Utilisez la suite (w_n) et sa limite déterminée à la question 2. b).

▶ 1. Calculer des termes de deux suites

$u_{1} = \frac{3 u_{0} + 2 v_{0}}{5}$ donc $u_{1} = \frac{3 \times 16 + 2 \times 5}{5}$ , soit $u_{1} = \frac{58}{5}$ .

$v_{1} = \frac{u_{0} + v_{0}}{2}$ donc $v_{1} = \frac{16 + 5}{2}$ , soit $v_{1} = \frac{21}{2}$ .

▶ 2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique et donner l’expression de son terme général

Pour tout entier naturel n, w_n₊₁ = u_n₊₁ - v_n₊₁, soit :

$w_{n + 1} = \frac{3 u_{n} + 2 v_{n}}{5} - \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$

$w_{n + 1} = \frac{6 u_{n} + 4 v_{n} - 5 u_{n} - 5 v_{n}}{10}$

$w_{n + 1} = \frac{u_{n} - v_{n}}{10}$

$w_{n + 1} = \frac{w_{n}}{10} = 0,1 w_{n}$ .

On en déduit que la suite (w_n) est une suite géométrique de raison 0,1.

w₀ = u₀ - v₀, donc w₀ = 16 - 5 = 11.

Donc, pour tout entier naturel n, $w_{n} = 11 \times {0,1}^{n}$ .

b) Déterminer le signe et la limite d’une suite

11 > 0 et 0,1 > 0, donc, pour tout entier naturel n, ${0,1}^{n} > 0$ et $w_{n} > 0$ .

Or - 1 < 0,1 < 1, donc $\lim_{n \to + ∞} {0,1}^{n} = 0$ .

La suite $(w_{n})$ converge vers 0.

▶ 3. a) Démontrer une relation entre des termes de deux suites

Pour tout entier naturel n :

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3 u_{n} + 2 v_{n}}{5} - u_{n} = \frac{3 u_{n} + 2 v_{n} - 5 u_{n}}{5}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 v_{n} - 2 u_{n}}{5}$

$u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{2}{5} (u_{n} - v_{n})$

$u_{n + 1} - u_{n} = - 0,4 w_{n}$

b) Déterminer le sens de variation d’une suite

On a vu à la question 2. b) que, pour tout n ∈ ℕ, w_n > 0.

On a donc u_n₊₁ - u_n < 0 pour tout entier naturel n, ce qui signifie que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

c) Démontrer par récurrence qu’une suite est minorée

On montre par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n ≥ 5. La démonstration se fait en trois étapes.

Initialisation

u₀ = 16, donc u₀ ≥ 5. La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que u_n ≥ 5 (hypothèse de récurrence).

On a admis que v_n ≥ 5.

Il en découle :

$\frac{3 u_{n} + 2 v_{n}}{5} \geq \frac{3 \times 5 + 2 \times 5}{5}$

soit :

$\frac{3 u_{n} + 2 v_{n}}{5} \geq 5$

c’est-à-dire : u_n₊₁ ≥ 5.

La propriété est vraie pour (n + 1) si elle est vraie pour n, elle est héréditaire.

Conclusion

Des deux points précédents on déduit que, pour tout entier naturel n, u_n ≥ 5.

La suite $(u_{n})$ est décroissante et minorée, donc elle converge d’après le théorème de convergence monotone. On note l sa limite (l ∈ ℝ).

remarque

On dit que la suite (u_n) est minorée par 5, ou encore que 5 est un minorant de cette suite.

▶ 4. a) Montrer l’égalité des limites de deux suites convergentes

On sait que, pour tout entier naturel n, w_n = u_n - v_n, que (u_n) converge vers l et que $(v_{n})$ converge vers l′.

Par opérations, on en déduit que $(w_{n})$ converge vers l - l′.

Or on a vu à la question 2. b) que (w_n) converge vers 0.

On en déduit $l - l^{'} = 0$ , c’est-à-dire $l = l^{'}$ .

b) Montrer qu’une suite est constante et déterminer la valeur de ses termes

Pour tout entier naturel n :

c_n₊₁ - c_n = 5u_n₊₁ + 4v_n₊₁ - (5u_n + 4v_n)

c_n₊₁ - c_n = 3u_n + 2v_n + 2u_n + 2v_n - 5u_n - 4v_n

c_n₊₁ - c_n = 0.

Autrement dit, pour tout entier naturel n, c_n₊₁ = c_n.

Les termes de la suite (c_n) sont tous égaux, la suite $(c_{n})$ est constante.

c₀ = 5u₀ + 4v₀

c₀ = 5 × 16 + 4 × 5

c₀ = 100.

Donc, pour tout entier naturel, $c_{n} = 100$ .

c) Déterminer la valeur commune des limites de deux suites convergentes

Pour tout entier naturel n, c_n = 5u_n + 4v_n ; (u_n) et $(v_{n})$ convergent vers l.

Donc $(c_{n})$ converge vers 5l + 4l = 9l.

Comme c_n = 100 pour tout n, on en déduit 9l = 100, c’est-à-dire $l = \frac{100}{9}$ .

Les suites (u_n) et (v_n) convergent vers $l = \frac{100}{9}$ .

remarque

On dit que les suites (w_n) et (c_n) sont deux suites auxiliaires, et que les suites (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes.

Étude conjointe de deux suites, récurrence et convergence

Les clés du sujet

▶ 1. Calculer des termes de deux suites

▶ 2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique et donner l’expression de son terme général

b) Déterminer le signe et la limite d’une suite

▶ 3. a) Démontrer une relation entre des termes de deux suites

b) Déterminer le sens de variation d’une suite

c) Démontrer par récurrence qu’une suite est minorée

remarque

▶ 4. a) Montrer l’égalité des limites de deux suites convergentes

b) Montrer qu’une suite est constante et déterminer la valeur de ses termes

c) Déterminer la valeur commune des limites de deux suites convergentes

remarque

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