Étude d’un bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
Étude d’un bénéfice

Fonctions exponentielles

matT_1309_04_08C

Ens. spécifique

17

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 4 • 5 points

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction définie sur par :

représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et représente le bénéfice en milliers d’euros.

>1.a) Déterminer , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

b) Démontrer que s’annule uniquement pour (0,5 point)

c) Calculer les valeurs exactes de (0,75 point)

d) Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 10]. (1 point)

>2.a) Justifier que l’équation possède une solution unique sur . (1 point)

b) Donner une valeur approchée à de . (0,5 point)

>3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

>1. d) La fonction est croissante sur tout intervalle où , décroissante sur tout intervalle où .

>2. a) Calculez et , et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.

>3. L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si son bénéfice est positif, c’est-à-dire si et seulement si .

Corrigé
Corrigé

>1.a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

Notez bien

La fonction est du type  ; sa dérivée est , avec ici .

Pour tout appartenant à l’intervalle

b) Résoudre une équation associée à la dérivée d’une fonction

c) Calculer des valeurs prises par une fonction

 ;

.

d) Construire le tableau de variation d’une fonction

  • Si , alors ,
    donc , c’est-à-dire .
  • Si , alors , donc , c’est-à-dire .

La fonction est donc strictement décroissante sur l’intervalle , strictement croissante sur l’intervalle . D’où son tableau de variation sur [0 ; 10] :


>2.a) Montrer à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires qu’une équation a une solution unique dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement croissante sur  ;

et , donc :

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationpossède une solution uniquesur.

b) Déterminer une valeur approchée d’une solution d’une équation

et ,

donc , donc .

>3. Étudier le bénéfice d’une entreprise

L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si .

Cette inéquation équivaut, d’après les questions précédentes, à .

représente le nombre de centaines de pièces produites et vendues, donc l’entreprise sera bénéficiaire à partir de 498 pièces produites et vendues.