Étude d'un bénéfice

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

20

Pondichéry • Avril 2015

Exercice 4 • 6 points

Étude d’un bénéfice

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.

Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On donne ci-dessous R et C les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l’intervalle [1 ; 30].

matT_1504_12_00C_02

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

▶ 1. Quel est le coût de production de 21 000 pièces ? (0,5 point)

▶ 2. Pour quelles quantités de pièces produites l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? (0,5 point)

▶ 3. Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ? (0,5 point)

Partie B

Le bénéfice en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l’intervalle [1 ; 30] par :

4555019-Eqn48.

▶ 1. Montrer que 4555019-Eqn49, où 4555019-Eqn50 est la dérivée de 4555019-Eqn51 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,5 point)

▶ 2. On admet que 4555019-Eqn52, où 4555019-Eqn53 est la dérivée seconde de 4555019-Eqn54 sur l’intervalle [1 ; 30].

Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée 4555019-Eqn55 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)

matT_1504_12_00C_02bis

▶ 3. a) Montrer que l’équation 4555019-Eqn60 admet une unique solution 4555019-Eqn61 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)

b) Donner une valeur approchée au millième de la valeur de4555019-Eqn62. (0,5 point)

▶ 4. En déduire le signe de 4555019-Eqn63 sur l’intervalle [1 ; 30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice 4555019-Eqn64 sur ce même intervalle. (1 point)

▶ 5. Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure au coût.

Partie B

> 2. Les variations de 4555019-Eqn69 s’étudient à partir du signe de 4555019-Eqn70.

> 3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.

> 4. Utilisez les résultats des questions 2. et 3. a).

Corrigé

Corrigé

Partie A

▶ 1. Déterminer par lecture graphique un coût de production

Le point de la courbe 4555019-Eqn218 d’abscisse 21 a pour ordonnée environ 250, donc par lecture graphique, on peut estimer que le coût de production de 21 000 pièces est environ 250 000 euros.

▶ 2. Déterminer graphiquement les productions pour lesquelles une entreprise réalise un bénéfice

L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure au coût de production. Graphiquement, on observe que la courbe 4555019-Eqn219 se situe au-dessus de la courbe 4555019-Eqn220 lorsque 4555019-Eqn221 est compris entre 3 et 22,7 environ.

L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit un nombre de pièces compris entre 3 000 et 22 700 environ.

▶ 3. Déterminer graphiquement la production permettant un bénéfice maximal

Le bénéfice est maximal lorsque la courbe 4555019-Eqn222 est au-dessus de la courbe 4555019-Eqn223 et que l’écart entre les deux courbes est le plus grand, ce que l’on observe graphiquement pour 4555019-Eqn224

Le bénéfice semble donc maximal pour environ 13 000 pièces produites.

Partie B

▶ 1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction 4555019-Eqn225 est dérivable sur [1 ; 30] et, pour tout 4555019-Eqn226 dans cet intervalle :

4555019-Eqn227

4555019-Eqn228

▶ 2. Justifier le tableau de variations d’une fonction

4555019-Eqn229 est la dérivée de 4555019-Eqn230 et on admet que, pour tout 4555019-Eqn231 dans [1 ; 30] :

4555019-Eqn232.

4555019-Eqn233 sur [1 ; 30], donc 4555019-Eqn234 a le signe de 4555019-Eqn235, donc :

4555019-Eqn236 si 4555019-Eqn237 ;

4555019-Eqn238

4555019-Eqn239 si 4555019-Eqn240.

Donc 4555019-Eqn241 est strictement croissante sur [1 ; 2], strictement décroissante sur [2 ; 30], et a un maximum en 4555019-Eqn242.

4555019-Eqn243

4555019-Eqn244

▶ 3. a) Montrer qu’une équation a une solution unique sur un intervalle

Pour tout 4555019-Eqn245, 4555019-Eqn246 ; l’équation 4555019-Eqn247 n’a pas de solution dans l’intervalle 4555019-Eqn248.

Sur l’intervalle 4555019-Eqn249, la fonction 4555019-Eqn250 est continue et strictement décroissante.

De plus, 4555019-Eqn251, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 4555019-Eqn252 admet une unique solution 4555019-Eqn253 dans l’intervalle 4555019-Eqn254.

Finalement, l’équation 4555019-Eqn255 a une unique solution 4555019-Eqn256 sur l’intervalle 4555019-Eqn257.

b) Donner une valeur approchée d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice :

4555019-Eqn258 et 4555019-Eqn259, donc 4555019-Eqn260.

4555019-Eqn261 et 4555019-Eqn262, donc :

4555019-Eqn263.

4555019-Eqn264 et 4555019-Eqn265, donc :

4555019-Eqn266.

13,153 et 13,154 sont des valeurs approchées au millième de 4555019-Eqn267.

▶ 4. Déterminer le signe d’une fonction

D’après les questions précédentes :

4555019-Eqn268 sur 4555019-Eqn269, 4555019-Eqn270 et 4555019-Eqn271 sur 4555019-Eqn272.

D’où le tableau de variations de la fonction 4555019-Eqn273 :

matT_1504_12_00C_04

4555019-Eqn281 ; 4555019-Eqn282.

▶ 5. Déterminer la production permettant un bénéfice maximal et la valeur du bénéfice maximal

D’après les questions précédentes, la fonction 4555019-Eqn283 atteint son maximum en 4555019-Eqn284.

4555019-Eqn285 au millième près, donc, à l’unité près, le nombre de pièces à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal est 13 153 pièces.

4555019-Eqn286, donc, arrondi au millier d’euros, le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est 40 000 euros.