Étude d'un bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 4 • 6 points

Étude d’un bénéfice

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.

Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On donne ci-dessous R et C les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l’intervalle [1 ; 30].

matT_1504_12_00C_02

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

▶ 1. Quel est le coût de production de 21 000 pièces ? (0,5 point)

▶ 2. Pour quelles quantités de pièces produites l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? (0,5 point)

▶ 3. Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ? (0,5 point)

Partie B

Le bénéfice en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l’intervalle [1 ; 30] par :

4555019-Eqn48.

▶ 1. Montrer que 4555019-Eqn49, où 4555019-Eqn50 est la dérivée de 4555019-Eqn51 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,5 point)

▶ 2. On admet que 4555019-Eqn52, où 4555019-Eqn53 est la dérivée seconde de 4555019-Eqn54 sur l’intervalle [1 ; 30].

Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée 4555019-Eqn55 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)

matT_1504_12_00C_02bis

▶ 3. a) Montrer que l’équation 4555019-Eqn60 admet une unique solution 4555019-Eqn61 sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)

b) Donner une valeur approchée au millième de la valeur de4555019-Eqn62. (0,5 point)

▶ 4. En déduire le signe de 4555019-Eqn63 sur l’intervalle [1 ; 30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice 4555019-Eqn64 sur ce même intervalle. (1 point)

▶ 5. Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure au coût.

Partie B

> 2. Les variations de 4555019-Eqn69 s’étudient à partir du signe de 4555019-Eqn70.

> 3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.

> 4. Utilisez les résultats des questions 2. et 3. a).