On considère la fonction définie sur l’intervalle [5  60] par :

> 1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

> 2. On considère la fonction définie sur [5  60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5  60]. (0,5 point)

b) Montrer que l’équation possède une unique solution dans [5  60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l’unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5  60]. (0,5 point)

> 3. En déduire le tableau de variation de sur [5  60]. (0,5 point)

> 4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l’intervalle [5  60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)