Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
13
Ens. spécifique
matT_1305_09_03C
Liban • Mai 2013
Exercice 3 • 5 points
partie a
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [5 60] par :
la dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout 
, 
(0,5 point)
définie sur [5 60] par :
est strictement croissante sur [5 60]. (0,5 point)
possède une unique solution 
dans [5 60]. (0,75 point)
. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
partie b
Une entreprise fabrique chaque mois 
vélos de course, avec 
appartenant à l'intervalle [5 60].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de 
vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Variations d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
sur un intervalle dépend du signe de 
sur cet intervalle montrez que le signe de 
est le même que celui de 
et utilisez la question
partie a
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [5 60] par :
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.
Pour tout 
:
> 2. a) Étudier le sens de variation d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.
Pour tout 
:
Donc, pour tout 
, 
.
b) Montrer qu'une équation a une unique solution
La fonction 
est continue et strictement croissante sur [5 60].
(au dixième près).
Donc 
.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone : 
c) Donner un encadrement d'une solution d'une équation
D'après la calculatrice, 
et 
au dixième près, donc 
, soit 
.
f étant strictement croissante sur [5 60] :
d) Étudier le signe d'une fonction sur un intervalle
D'après les questions précédentes :
- si
, alors 
- si
, alors 
.
Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :
| x | 5 |
| α |
| 60 |
| Signe def(x) |
| – | 0 | + |
|
> 3. Étudier le sens de variation d'une fonction
D'après la question 
, 
.
Donc 
a le même signe que 
On peut en déduire le tableau de variation de 
sur [5 60] :
au centième près.
> 4. a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 2
La fonction 
atteint son minimum en 
.
D'après la question 
.
au centième près, donc 
.
b) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 5
Pour tout x appartenant à 
.
partie b
Minimiser un coût de fabrication
D'après la partie 
atteint son minimum en 
et 
.
Le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal est donc 25 ou 26.
Or, 
.