Étude d’un coût de fabrication

Merci !
Retour

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’un coût de fabrication
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1305_09_03C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

> 1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

> 2. On considère la fonction définie sur [5 ; 60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5 ; 60]. (0,5 point)

b) Montrer que l’équation possède une unique solution dans [5 ; 60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l’unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5 ; 60]. (0,5 point)

> 3. En déduire le tableau de variation de sur [5 ; 60]. (0,5 point)

> 4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l’intervalle [5 ; 60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Variations d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

> 2. b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

> 3. Le sens de variation de sur un intervalle dépend du signe de sur cet intervalle ; montrez que le signe de est le même que celui de et utilisez la question 2.d).

Corrigé

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

> 1. Calculer la dérivée d’une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout  :

> 2.a) Étudier le sens de variation d’une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Pour tout  :

Donc, pour tout , .

La fonctionest strictement croissante sur [5 ; 60].

b) Montrer qu’une équation a une unique solution

La fonction est continue et strictement croissante sur [5 ; 60].

(au dixième près).

Donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction strictement monotone : l’équationpossède une unique solutiondans [5 ; 60].

c) Donner un encadrement d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice, et au dixième près, donc , soit .

f étant strictement croissante sur [5 ; 60] :

d) Étudier le signe d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

  • si , alors  ;
  •  ;
  • si , alors .

Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :

 

x

5

 

α

 

60

Signe def(x)

 

–

0

+

 
 

> 3. Étudier le sens de variation d’une fonction

D’après la question 1., pour tout , .

Donc a le même signe que

On peut en déduire le tableau de variation de sur [5 ; 60] :


 

au centième près.

> 4.a) Déterminer le nombre de solutions de l’équation C(x) = 2

La fonction atteint son minimum en .

D’après la question 1.c), .

au centième près, donc .

L’équationpossède donc deux solutions dans l’intervalle [5 ; 60] : une danset une dans.

b) Déterminer le nombre de solutions de l’équation C(x) = 5

Pour tout x appartenant à .

Donc l’équationpossède une seule solution dans [5 ; 60].

partie b

Minimiser un coût de fabrication

D’après la partie A, la fonction atteint son minimum en et .

Le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal est donc 25 ou 26.

Or, .

Donc, pour que le coût moyen de fabrication soit minimal, l’entreprise doit produire 26 vélos de course.