Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
13
Ens. spécifique
matT_1305_09_03C
Liban • Mai 2013
Exercice 3 • 5 points
partie a
On considère la fonction définie sur l'intervalle [5 60] par :
la dérivée de la fonction
.
Montrer que, pour tout ,
(0,5 point)
définie sur [5 60] par :
est strictement croissante sur [5 60]. (0,5 point)
possède une unique solution
dans [5 60]. (0,75 point)
. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
partie b
Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec
appartenant à l'intervalle [5 60].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Variations d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
sur un intervalle dépend du signe de
sur cet intervalle montrez que le signe de
est le même que celui de
et utilisez la question
partie a
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.
> 2. a) Étudier le sens de variation d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.
b) Montrer qu'une équation a une unique solution
La fonction est continue et strictement croissante sur [5 60].
(au dixième près).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone :
c) Donner un encadrement d'une solution d'une équation
D'après la calculatrice, et
au dixième près, donc
, soit
.
f étant strictement croissante sur [5 60] :
d) Étudier le signe d'une fonction sur un intervalle
D'après les questions précédentes :
Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :
x | 5 |
| α |
| 60 |
Signe def(x) |
| – | 0 | + |
|
> 3. Étudier le sens de variation d'une fonction

> 4. a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 2
La fonction atteint son minimum en
.