Annale corrigée Exercice Ancien programme

Étude d'un coût de fabrication

 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d'un coût de fabrication
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1305_09_03C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

partie a

On considère la fonction définie sur l'intervalle [5 60] par :

> 1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

> 2. On considère la fonction définie sur [5 60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5 60]. (0,5 point)

b) Montrer que l'équation possède une unique solution dans [5 60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l'unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5 60]. (0,5 point)

> 3. En déduire le tableau de variation de sur [5 60]. (0,5 point)

> 4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l'intervalle [5 60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Variations d'une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Utilisez la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme .

> 2. b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

> 3. Le sens de variation de sur un intervalle dépend du signe de sur cet intervalle montrez que le signe de est le même que celui de et utilisez la question 2.d).

partie a

On considère la fonction définie sur l'intervalle [5 60] par :

> 1. Calculer la dérivée d'une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout :

> 2.a) Étudier le sens de variation d'une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Pour tout :

Donc, pour tout , .

La fonctionest strictement croissante sur [5 60].

b) Montrer qu'une équation a une unique solution

La fonction est continue et strictement croissante sur [5 60].

(au dixième près).

Donc .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone : l'équationpossède une unique solutiondans [5 60].

c) Donner un encadrement d'une solution d'une équation

D'après la calculatrice, et au dixième près, donc , soit .

f étant strictement croissante sur [5 60] :

d) Étudier le signe d'une fonction sur un intervalle

D'après les questions précédentes :

  • si , alors
  • si , alors .

Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :

 

x

5

α

60

Signe def(x)

0

+

 

> 3. Étudier le sens de variation d'une fonction

D'après la question 1., pour tout , .

Donc a le même signe que

On peut en déduire le tableau de variation de sur [5 60] :


 

au centième près.

> 4.a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 2

La fonction atteint son minimum en .

D'après la question 1.c), .

au centième près, donc .

L'équationpossède donc deux solutions dans l'intervalle [5 60] : une danset une dans.

b) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 5

Pour tout x appartenant à .

Donc l'équationpossède une seule solution dans [5 60].

partie b

Minimiser un coût de fabrication

D'après la partie A, la fonction atteint son minimum en et .

Le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal est donc 25 ou 26.

Or, .

Donc, pour que le coût moyen de fabrication soit minimal, l'entreprise doit produire 26 vélos de course.

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