Étude d’un coût de fabrication

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’un coût de fabrication
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1305_09_03C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5  60] par :

> 1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

> 2. On considère la fonction définie sur [5  60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5  60]. (0,5 point)

b) Montrer que l’équation possède une unique solution dans [5  60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l’unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5  60]. (0,5 point)

> 3. En déduire le tableau de variation de sur [5  60]. (0,5 point)

> 4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l’intervalle [5  60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Variations d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

> 2. b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

> 3. Le sens de variation de sur un intervalle dépend du signe de sur cet intervalle  montrez que le signe de est le même que celui de et utilisez la question 2.d).