Conditionnement

Ens. spécifique

matT_1706_09_04C

Liban • Juin 2017

Exercice 3 • 5 points • ⏱ 45 min

Étude d'un ensemble de demandeurs d'emploi selon deux critères

Les thèmes clés

Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Les parties A et B sont indépendantes.

Notations :

Pour tout événement A, on note $\bar{A}$ l'événement contraire de A et p(A) la probabilité de l'événement A.

Si A et B sont deux événements, on note $p_{B} (A)$ la probabilité de A sachant que l'événement B est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième.

Une agence Pôle Emploi étudie l'ensemble des demandeurs d'emploi selon deux critères, le sexe et l'expérience professionnelle.

Cette étude montre que :

52 % des demandeurs d'emploi sont des femmes et 48 % sont des hommes

18 % des demandeurs d'emploi sont sans expérience, les autres sont avec expérience

parmi les hommes qui sont demandeurs d'emploi, on sait que 17,5 % sont sans expérience.

partie A

On prélève au hasard la fiche d'un demandeur d'emploi de cette agence. On note :

S : l'événement « le demandeur d'emploi est sans expérience »

F : l'événement « le demandeur d'emploi est une femme ».

▶ 1. Préciser $p (S)$ et $p_{\bar{F}} (S)$ . (0,5 point)

▶ 2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées. (1 point)

matT_1706_09_00C_02

▶ 3. Démontrer que $p (\bar{F} \cap S) = 0,084$ . Interpréter le résultat. (0,75 point)

▶ 4. La fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme. (0,5 point)

▶ 5. Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience. (1 point)

partie B

La responsable de l'agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d'emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d'emploi dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience. (1,25 point)

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l'énoncé.

▶ 3 On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.

▶ 4. et 5. Calculez des probabilités conditionnelles.

Partie B

Introduisez, en justifiant toutes les étapes, une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Corrigé

partie A

▶ 1. Préciser à partir des données d'un énoncé les valeurs de deux probabilités

18 % des demandeurs d'emploi sont sans expérience, donc :

$p (S) = 0,18$

Parmi les hommes demandeurs d'emploi, 17,5 % sont sans expérience :

$p_{\overset{&macr}{F}} (S) = 0,175$

▶ 2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

notez bien

On ne peut pas compléter entièrement l'arbre car on ne connaît pas la proportion de personnes sans expérience parmi les femmes demandeurs d'emploi.

La situation peut être représentée par l'arbre suivant.

matT_1706_09_00C_05

▶ 3. Calculer et interpréter la probabilité de l'intersection de deux événements

D'après l'arbre de la question précédente :

$p (\overset{&macr}{F} \cap S) = 0,48 \times 0,175$

$p (\overset{&macr}{F} \cap S) = 0,084$ .

La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un homme sans expérience est 0,084.

▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche $p_{S} (\overset{&macr}{F})$ .

$p_{S} (\overset{&macr}{F}) = \frac{p (\overset{&macr}{F} \cap S)}{p (\overset{&macr}{S})}$

$p_{S} (\overset{&macr}{F}) = \frac{0,084}{0,18}$

$p_{S} (\overset{&macr}{F}) \approx 0,467 .$

Si la fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience, la probabilité que ce soit celle d'un homme est environ 0,467.

▶ 5. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche $p_{F} (S)$ :

$p_{F} (S) = \frac{p (F \cap S)}{p (F)}$ .

$p (F) = 0,52$ d'après l'énoncé.

$p (S) = 0,18$ et $p (S) = p (F \cap S) + p (\overset{&macr}{F} \cap S)$ , donc :

$\begin{array}{l} p (F \cap S) = p (S) - p (\overset{&macr}{F} \cap S) \\ p (F \cap S) = 0,18 - 0,48 \times 0,175 \\ p (F \cap S) = 0,096 . \end{array}$

D'où :

$p_{F} (S) = \frac{0,096}{0,52}$

$p_{F} (S) \approx 0,185 .$

Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience est environ 0,185.

partie B

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq fiches, associe le nombre de fiches de demandeurs d'emploi sans expérience.

X compte le nombre de succès (« le demandeur d'emploi est sans expérience ») lors de la répétition de cinq épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,18 (18 % des demandeurs d'emploi sont sans expérience), d'où :

$p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0) = 1 - {(1 - 0,18)}^{5} \approx 0,629$ .

La probabilité que parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience est 0,629.

Étude d'un ensemble de demandeurs d'emploi selon deux critères

partie A

partie B

Partie A

Partie B

partie A

▶ 1. Préciser à partir des données d'un énoncé les valeurs de deux probabilités

▶ 2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

▶ 3. Calculer et interpréter la probabilité de l'intersection de deux événements

▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle

▶ 5. Calculer une probabilité conditionnelle

partie B

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