Étude d’un placement, évolution d’un capital

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2015

Exercice 3 • 4 points

Étude d’un placement, évolution d’un capital

Un couple fait un placement au taux annuel de 2 % dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de 18 000 euros.

Le couple a placé le montant de 1 000 euros à l’ouverture le 1er janvier 2010, puis, tous les ans à chaque 1er janvier, verse 2 400 euros.

1. Déterminer le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel. (0,5 point)

2. On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d’années. On donne ci-dessous trois algorithmes :

1.

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée : Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Affecter 1 000 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 1,02×U+2400 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

2.

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée : Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Pour i de 1 à N faire

Affecter 1 000 à U

Affecter 1,02×U+2400 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

3.

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée : Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Affecter 1 000 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 1,02×U+2400 à U

Affecter N+1 à N

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

a) Pour la valeur 5 de N saisie dans l’algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). (1 point)

Valeur de i

xxx

1

Valeur de U

1 000

b) Pour la valeur 5 de N saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? Comment s’interprète cet affichage ? (0,5 point)

c) En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue ? (1 point)

3. À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2 %.

Au premier janvier de quelle année l’objectif de 18 000 euros est-il atteint ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

2. c) Déterminez les valeurs prises successivement par la variable U et regardez si l’algorithme se termine après un nombre fini d’étapes.

3. Il est possible de modéliser la situation en utilisant une suite géométrique.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer un capital après un an de placement

Notez bien

1,02 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2 % ; une grandeur qui augmente de 2 % est multipliée par 1,02.

Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel est, en euros :

1000×1,02+2400=3420.

Le 1er janvier 2011, le capital présent sur le compte est de 3 420 euros.

2. a) Construire un « tableau d’étapes » associé à un algorithme

Pour N = 5, le tableau des valeurs successivement obtenues avec l’algorithme 1 est :

Valeur de i

xxx

1

2

3

4

5

Valeur de U

1 000

3 420

5 888,40

8 406,17

10 974,29

13 593,78

b) Déterminer et interpréter une valeur obtenue en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée par cet algorithme est 13 593,78. Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2015 après le versement annuel est de 13 593,78 euros.

c) Justifier que des algorithmes ne fournissent pas le résultat attendu

L’algorithme 2 n’affiche pas la somme présente sur le compte après N années car, à chaque étape de la boucle, la valeur de U est réinitialisée à 1 000 ; l’algorithme 2 effectue donc N fois le même calcul et affiche 3 420 en sortie, quelle que soit la valeur de N saisie.

L’algorithme 3 ne convient pas non plus car, à chaque étape de la boucle, N est augmenté de 1 ; l’algorithme ne s’arrête pas.

Donc les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas le résultat attendu.

3. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour qu’un capital atteigne une valeur donnée

Le 1er janvier 2016, après le versement annuel, le capital présent sur le compte est :

13593,78×1,02+2400

soit environ 16 265,65 euros.

Pour tout entier naturel n, on note cn le capital (en euros) présent sur le compte au 1er janvier de l’année 2016+n.

c0=16625,65 et, pour tout entier naturel n :

cn+1=1,02 cn.

(cn) est donc la suite géométrique de premier terme c0=16265,65 et de raison 1,02.

Donc, pour tout entier naturel n :

cn=16265,65×1,02n.

On cherche donc le plus petit entier naturel n tel que :

16625,65×1,02n18000.

16265,65×1,02n180001,02n1800016265,6516265,65×1,02n18 000nln1,02ln(1800016265,65)16265,65×1,02n18000nln(1800016265,65)ln1,02.

Or, ln(1800016265,65)ln1,02  5,1.

Le plus petit entier naturel n tel que 16265,65×1,02n18000 est donc n=6.

2016+6=2022.

L’objectif de 18 000 euros est donc atteint au 1er janvier 2022.