Étude d’un stock de pommes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2015

Exercice 2 • 5 points

Étude d’un stock de pommes

Un supermarché dispose d’un stock de pommes. On sait que 40 % des pommes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.

Il a été constaté que 85 % des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95 % pour le fournisseur B.

Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :

A : « La pomme provient du fournisseur A »

B : « La pomme provient du fournisseur B »

C : « La pomme est commercialisable ».

partie a

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

2. Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. (0,5 point)

3. La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois plus de chances qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? (1 point)

Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.

partie b

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

1. Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? (1 point)

2. Quelle est la probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables ? (1 point)

partie c

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s’aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables.

Est-ce conforme à ce qu’il pouvait attendre ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés.

2. L’événement dont on demande la probabilité est C¯. Une pomme non commercialisable provient soit du fournisseur A, soit du fournisseur B.

3. Utilisez des probabilités conditionnelles.

Partie B

1. et 2. Utilisez la loi binomiale.

Partie C

Déterminez/utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré

matT_1509_04_00C_05

2. Calculer la probabilité d’un événement

Notez bien

Une pomme du stock provient soit du fournisseur A, soit du fournisseur B.

La probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est P( C¯).

A et B sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

P( C¯)=P( C¯A)+P( C¯B).

D’après l’arbre construit à la question 1. :

P( C¯)=0,4×0,15+0,6×0,05

P( C¯)=0,09.

3. Calculer et utiliser des probabilités conditionnelles

On calcule et compare les probabilités conditionnelles P C¯(A) et P C¯(B) :

P C¯(A)=P( C¯A)P( C¯)=0,4×0,150,09=0,060,09=23  ;

P C¯(B)=P( C¯B)P( C¯)=0,6×0,050,09=0,030,09=13.

D’où P C¯(A)=2×P C¯(B).

Le responsable des achats a donc raison lorsqu’il affirme qu’une pomme non commercialisable a deux fois plus de chances de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.

partie b

1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit la variable aléatoire X égale au nombre de pommes commercialisables parmi les 15 pommes choisies. On appelle « succès » l’événement « la pomme est commercialisable », la probabilité de succès est égale à 0,91.

X est égale au nombre de succès lors de la répétition de 15 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc X suit la loi binomiale de paramètres 15 et 0,91.

La probabilité que les 15 pommes choisies soient commercialisables est :

P(X=15=  0,9115.

La probabilité que les 15 pommes choisies soient toutes commercialisables est donc 0,9115, soit environ 0,243 en arrondissant au millième.

2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

D’après les résultats du cours sur la loi binomiale ou d’après la calculatrice, la probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables est :

P(X14)=P(X=14)+P(X=15)0,604.

La probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables est 0,604 (en arrondissant au millième).

partie c

Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

La taille de l’échantillon étudié est n=200. La probabilité qu’une pomme choisie au hasard dans le stock ne soit pas commercialisable est :

p=0,09.

n=20030;np=200×0,09=185;n(1p)=200×0,91=1825.

On peut donc déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200 :

[0,091,96×0,09×0,91200;0,09+1,96×0,09×0,91200].

Après calcul, en arrondissant de manière à obtenir un intervalle contenant le précédent, on obtient que l’intervalle I=[0,05;0,13] est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200.

Dans l’échantillon considéré, la fréquence de pommes non commercialisables est :

f=22200=0,11.

fI, donc le résultat observé par le responsable des achats est conforme à ce qu’il pouvait attendre.