Probabilités conditionnelles
matT_1406_07_06C
Ens. spécifique
26
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2014
Exercice 2 • 5 points
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
- la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est 0,99
- la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est 0,001.
Partie B
La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Calculs de probabilités
E35 • E37 → Partie A, 1. et 2. - Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale
E40 a • E40 c • E40 e → Partie B, 1. a) et 1. b) - Expression de l'intervalle de fluctuation asymptotique
E43 → Partie B, 2.
Calculatrice
- Calcul d'une probabilité associée à une loi normale
C3 → Partie B, 1. a) et 1. b)
Nos coups de pouce
Partie A
. Exprimez ainsi 
en fonction de 
et concluez en prenant en compte la condition imposée dans l'énoncé pour cette probabilité.
Partie A
> 1. a) Construire un arbre pondéré
D'après l'étude statistique, le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1%. La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette population soit malade, 
, est donc égale à 
. La probabilité qu'une personne malade présente un test positif est une probabilité conditionnelle. En effet, c'est la probabilité qu'une personne choisie au hasard présente un test positif sachant que cette personne est malade. Ainsi, 
. De même, la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité que cette personne présente un test positif sachant qu'elle est saine. Ainsi, 
.
Ce que nous pouvons résumer par l'arbre pondéré suivant :
b) Calculer la probabilité d'un événement
L'événement T est associé à deux feuilles 
et 
.
Par conséquent (formule des probabilités totales), la probabilité de l'événement T est la somme des probabilités de ces feuilles :
c) Calculer une probabilité conditionnelle
Pour confirmer ou infirmer cette affirmation, nous devons calculer une probabilité conditionnelle : probabilité qu'une personne choisie au hasard soit malade sachant que son test est positif. Cette probabilité conditionnelle se note 
et par définition :
.
> 2. Déterminer une valeur sous contrainte
- Bien que les caractéristiques mises en avant par le service de communication soient identiques, la proportion de personnes malades dans la population ne l'est plus. Cette proportion n'est plus égale à 0,1 % mais elle est notée
. De ce fait, il suffit simplement de réitérer la démarche conduite dans la question précédente en remplaçant 
par 
(au lieu de 
) et naturellement 
par 
(au lieu de 
. - Le laboratoire commercialise un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. Autrement dit,
. Exprimons cette probabilité en fonction de 
puis résolvons l'inéquation induite.
et
Partie B
> 1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale
La probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme s'écrit à l'aide de la variable aléatoire 
: 
Nous pouvons en déterminer directement une valeur approchée à l'aide d'une calculatrice :
| CASIO Graph 75 | TI-83 Plus.fr |
|
|
|
b) Déterminer une valeur sous contrainte
- Par propriété, nous avons :
et 
.
Nous en déduisons que l'entier positif 
est compris entre 14 et 21.
- À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
0,9777
0,9957
> 2. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation
La chaîne de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Par conséquent, le laboratoire serait très certainement satisfait si la proportion 
de comprimés conformes atteignait 97 % de la production (
). Supposons que ce soit le cas.
Afin d'en évaluer la pertinence, 1 000 comprimés dans la production ont été prélevés : la taille n de l'échantillon est donc 1 000. Comme 
et 
l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :
Parmi les comprimés prélevés au hasard, 53 s'avèrent être non conformes et donc 947 conformes : la fréquence observée f de comprimés conformes dans l'échantillon est donc : 
. La fréquence observée 
n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, nous rejetons l'hypothèse faite sur 
, avec un risque de 5 % de nous tromper :