Étude d’un test de dépistage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
&Eacute tude d’un test de dépistage

Probabilités conditionnelles

matT_1406_07_06C

Ens. spécifique

26

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes  :

  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est  0,99 
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,001.

>1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1  %. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. On note M l’événement «  la personne choisie est malade  » et T l’événement «  le test est positif  ».

a) Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.

b) Démontrer que la probabilité P(T) de l’événement T est égale à 1,989  &times 10&ndash 3.

c) L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse  ? Justifier la réponse. Affirmation  : «  Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade.  »

>2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par x la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population. &Agrave partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant  ?

Partie B

La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.

>1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920  mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale (&micro , &sigma 2) de moyenne &micro   = 900 et d’écart type &sigma = 7.

a) Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10&ndash 2.

b) Déterminer l’entier positif h tel que P(900 &minus h &le X &le 900 +h) &asymp 0,99 à 10&ndash 3 près.

>2. La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97  % de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1  000  comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1  000  tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire  ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Calculs de probabilités   E35 • E37  Partie A, 1. et 2.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale   E40a • E40c • E40e  → Partie B, 1. a) et 1. b)
  • Expression de l’intervalle de fluctuation asymptotique   E43  Partie B, 2.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale   C3  Partie B, 1.  a) et 1. b)

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Raisonnez de manière analogue à la question 1. en remplaçant 0,1  %, pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole, par . Exprimez ainsi en fonction de et concluez en prenant en compte la condition imposée dans l’énoncé pour cette probabilité.