Étude d’un test de dépistage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Étude d’un test de dépistage

Probabilités conditionnelles

matT_1406_07_06C

Ens. spécifique

26

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,99 ;
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,001.

>1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. On note M l’événement « la personne choisie est malade » et T l’événement « le test est positif ».

a) Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.

b) Démontrer que la probabilité P(T) de l’événement T est égale à 1,989 × 10–3.

c) L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade. »

>2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par x la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Partie B

La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.

>1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale 𝒩(µ, σ2) de moyenne µ = 900 et d’écart type σ= 7.

a) Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10–2.

b) Déterminer l’entier positif h tel que P(900 − h X 900 +h) ≈ 0,99 à 10–3 près.

>2. La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1 000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1 000 tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Calculs de probabilités  E35 • E37 Partie A, 1. et 2.
  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40a • E40c • E40e  → Partie B, 1. a) et 1. b)
  • Expression de l’intervalle de fluctuation asymptotique  E43 Partie B, 2.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3 Partie B, 1. a) et 1. b)

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Raisonnez de manière analogue à la question 1. en remplaçant 0,1 %, pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole, par . Exprimez ainsi en fonction de et concluez en prenant en compte la condition imposée dans l’énoncé pour cette probabilité.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. a) Construire un arbre pondéré

D’après l’étude statistique, le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1%. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans cette population soit malade, , est donc égale à . La probabilité qu’une personne malade présente un test positif est une probabilité conditionnelle. En effet, c’est la probabilité qu’une personne choisie au hasard présente un test positif sachant que cette personne est malade. Ainsi, . De même, la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est une probabilité conditionnelle : c’est la probabilité que cette personne présente un test positif sachant qu’elle est saine. Ainsi, .

Ce que nous pouvons résumer par l’arbre pondéré suivant :


b) Calculer la probabilité d’un événement

L’événement T est associé à deux feuilles et .

Par conséquent (formule des probabilités totales), la probabilité de l’événement T est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un test positif est.

c) Calculer une probabilité conditionnelle

Pour confirmer ou infirmer cette affirmation, nous devons calculer une probabilité conditionnelle : probabilité qu’une personne choisie au hasard soit malade sachant que son test est positif. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

.

L’affirmation « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade » est donc vraie.

>2. Déterminer une valeur sous contrainte

  • Bien que les caractéristiques mises en avant par le service de communication soient identiques, la proportion de personnes malades dans la population ne l’est plus. Cette proportion n’est plus égale à 0,1 % mais elle est notée . De ce fait, il suffit simplement de réitérer la démarche conduite dans la question précédente en remplaçant par (au lieu de ) et naturellement par (au lieu de .
  • Le laboratoire commercialise un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. Autrement dit, . Exprimons cette probabilité en fonction de puis résolvons l’inéquation induite.

et

Le laboratoire commercialise un test de dépistage pour une certaine maladie quand la proportion de personnes atteintes par cette maladie dans la population est d’au moinssoit environ 1,88 %.

Partie B

>1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale

La probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme s’écrit à l’aide de la variable aléatoire  :

Nous pouvons en déterminer directement une valeur approchée à l’aide d’une calculatrice :


CASIO Graph 75


TI-83 Plus.fr



La probabilité devant être arrondie au centième, nous avons :

.

b) Déterminer une valeur sous contrainte

  • Par propriété, nous avons :

et .

Nous en déduisons que l’entier positif est compris entre 14 et 21.

  • À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

0,9777

0,9899

0,9957

L’entier positiftel queàprès est 18.

>2. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Par conséquent, le laboratoire serait très certainement satisfait si la proportion de comprimés conformes atteignait 97 % de la production (). Supposons que ce soit le cas.

Afin d’en évaluer la pertinence, 1 000 comprimés dans la production ont été prélevés : la taille n de l’échantillon est donc 1 000. Comme et l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :

Parmi les comprimés prélevés au hasard, 53 s’avèrent être non conformes et donc 947 conformes : la fréquence observée f de comprimés conformes dans l’échantillon est donc : . La fréquence observée n’appartenant pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, nous rejetons l’hypothèse faite sur , avec un risque de 5 % de nous tromper : le résultat de ce contrôle remet en cause les réglages faits par le laboratoire.