Étude d’une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Étude d’une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)

Conditionnement

matT_1311_03_06C

Ens. spécifique

25

CORRIGE

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 3 • 5 points

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c’est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l’action qu’il mène). Ce sondage résulte d’une enquête réalisée auprès d’un échantillon de la population du pays.

Les enquêtes réalisées révèlent que, d’un mois à l’autre :

  • 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ;
  • 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent.
  • On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :
  • l’événement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l’élection du président » de probabilité et son événement contraire ;
  • l’événement « la personne interrogée le 1er mois a une opinion favorable » de probabilité et son événement contraire.

>1.a) Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : (0,5 point)


b) Montrer que . (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n, l’événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et sa probabilité.

On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,

>2. On considère l’algorithme suivant :


Variables :

Entrée :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :


J et N sont des entiers naturels

P est un nombre réel

Saisir N

P prend la valeur 0,55

Pour J allant de 1 à N

 P prend la valeur 0,9 P + 0,04

Fin Pour

Afficher P

a) Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur N = 1. (0,5 point)

b) Donner le rôle de cet algorithme. (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel n par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme . (0,75 point)

b) En déduire l’expression de en fonction de n, puis l’expression de en fonction de n. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

>4.a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

(0,5 point)

b) Interpréter le résultat trouvé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1. a) Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même « nœud » est égale à 1.

>3. c) Utilisez le résultat sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que pour déterminer la limite de la suite et déduisez-en la limite de la suite .

Corrigé
Corrigé

>1. a) Compléter un arbre pondéré

.

car, d’un mois à l’autre, 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus, donc 94 % le sont toujours.

car 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent et donc 96 % des personnes qui n’étaient pas favorables le restent.

D’où l’arbre pondéré :


b) Établir une relation entre deux probabilités

constituent une partition de l’univers, d’où :

.

D’après l’arbre :

>2. a) Donner le résultat affiché en sortie par un algorithme

Lorsque l’utilisateur entre la valeur N = 1, la boucle Pour (partie Traitement) comporte une seule étape.

P prend la valeur .

La valeur affichée en sortie est donc 0,535.

b) Donner le rôle d’un algorithme

Notez bien

est la probabilité que la personne interrogée le N-ième mois ait une opinion favorable.

Cet algorithme calcule les valeurs de pour variant de 1 à N et affiche la valeur calculée de, oùN est l’entier saisi par l’utilisateur.

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

soit .

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est :

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

est la suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 0,15 donc, pour tout entier naturel n :

.

, donc :

c) Déterminer la limite d’une suite et en donner une interprétation

, donc :

Quand le nombre de mois augmente, la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait une opinion favorable tend vers 0,4.

On peut considérer que le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable tend vers 40 %.

>4. a) Résoudre une inéquation où l’inconnue est un entier naturel en exposant

équivaut à :

.

  • Première méthode

On peut calculer les puissances successives de 0,9 et noter l’exposant de la première puissance inférieure à .

et , donc équivaut à :

  • Deuxième méthode

Attention !

, donc  ; on divise l’inégalité par qui est négatif, donc l’inégalité change de sens.

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur , équivaut à :

, soit .

, donc . n est un entier naturel d’où :

.

b) Interpréter les solutions d’une inéquation

L’inéquation résolue à la question précédente équivaut à .

À partir du 11emois, le pourcentage de personnes favorables devient inférieur à 45 %.