Partie A : Quelques propriétés des fonctions f_n

▶ 1. Déterminer un point commun à toutes des courbes

Première méthode : D'après le graphique, on peut conjecturer que le point $\text{A}\left(0;\frac{1}{2}\right)$ est commun à toutes les courbes ${\mathcal{C}}_n$. On vérifie la conjecture en calculant $f_n(0).$

$f_n(0)=\frac{{\text{e}}^{-n\times 0}}{1+{\text{e}}^{-0}}=\frac{1}{2}.$ Le nombre $f_n(0)$ ne dépend pas de n, le point $\text{A}\left(0;\frac{1}{2}\right)$ est donc commun à toutes les courbes ${\mathcal{C}}_n$.

Deuxième méthode : Soient m et n deux entiers naturels distincts, on cherche l'intersection des courbes ${\mathcal{C}}_n$ et ${\mathcal{C}}_m.$

$\text{M}(x;y)\in {\mathcal{C}}_n\cap {\mathcal{C}}_m\iff \left\{\begin{array}{l}y=f_n(x)\\ y=f_m(x)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=f_n(x)\\ f_n(x)=f_m(x)\end{array}\right.$

On résout : $f_n(x)=f_m(x)\iff \frac{{\text{e}}^{-n\times x}}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{{\text{e}}^{-m\times x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\iff {\text{e}}^{-nx}={\text{e}}^{-mx}\iff -nx=-mx$

$\iff x(m-n)=0\iff x=0$ (car m et n sont distincts).

Il reste à déterminer y ; on a $y=f_n(0)=\frac{1}{2}$.

Toutes les courbes passent donc par le point $A\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

▶ 2. a) Étudier les variations d'une fonction

On a $f_0(x)=$ $\frac{{\text{e}}^{-0\times x}}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}.$ Pour tout x réel, $1+{\text{e}}^{-x}>0$, donc $f_0$ est bien définie et dérivable sur $\text{ℝ}$ comme inverse d'une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur $\text{ℝ}.$

Pour tout x réel, on a :

${f^{\prime }}_0(x)=-\frac{-{\text{e}}^{-x}}{{(1+{\text{e}}^{-x})}^2}=\frac{{\text{e}}^{-x}}{{(1+{\text{e}}^{-x})}^2}.$

${f^{\prime }}_0(x)>0$, donc $f_0$ est strictement croissante sur $\text{ℝ}$.

b) Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

Limite en $-\infty$ : $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{-x}=+\infty$ car $\underset{x\to -\infty }{\lim }-x$ = $+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$.

Ainsi $\underset{x\to -\infty }{\lim }(1+e^{-x})=+\infty$ et, par quotient, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1+e^{-x}}=0$, soit $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_0(x)=0$.

Limite en $+\infty$ : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=0.$

Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_0(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1}=1$.

On déduit de ces deux résultats que la courbe représentant $f_0$ admet deux asymptotes : les droites d'équation $y=0\text{ et }y=1.$

c) Établir un tableau de variations

Tous les résultats sont rassemblés dans le tableau de variations ci-dessous.

▶ 3. a) Comparer deux fonctions

On a $f_0(x)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{1}{1+\frac{1}{{\text{e}}^x}}=\frac{1}{\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x}}=\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+1}=\frac{{\text{e}}^{-(-x)}}{1+{\text{e}}^{-(-x)}}=f_1(-x)$.

Ainsi, pour tout x réel, on a bien $f_0(x)=f_1(-x)$.

b) Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_1(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_0(-x)=\underset{X\to +\infty }{\lim }{f}_0(X)=1$

et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_1(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_0(-x)=\underset{X\to -\infty }{\lim }{f}_0(X)=0$.

Variations de $f_1$ sur $\text{ℝ}$ : $f_1$ est dérivable sur $\text{ℝ}$, on remarque que $f_1=f_0\circ h$ avec $h:x\mapsto -x.$

On a donc $\forall x\in \text{ℝ}$ : $\begin{array}{c}{f^{\prime }}_1(x)=({f^{\prime }}_0\circ h)(x)\times h^{\prime }(x)\\ =({f^{\prime }}_0(-x))\times (-1)=-{f^{\prime }}_0(-x).\end{array}$

Pour tout réel x, ${f^{\prime }}_0(-x)>0.$ On en déduit que, pour tout réel x,

La fonction $f_1$ est donc décroissante sur $\text{ℝ}$.

c) Mettre en relation les positions de deux courbes

Pour tout réel x, le point de ${\mathcal{C}}_0$ d'abscisse x a la même ordonnée que le point de ${\mathcal{C}}_1$ d'abscisse $-x$. Cela signifie que les courbes ${\mathcal{C}}_0$ et ${\mathcal{C}}_1$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

▶ 4. a) Donner une autre expression d'une fonction

$f_n\left(x\right)=\frac{{\text{e}}^{-n\times x}}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{\frac{1}{{\text{e}}^{nx}}}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{1}{{\text{e}}^{nx}}\times \frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{1}{{\text{e}}^{nx}+{\text{e}}^{nx}\times {\text{e}}^{-x}}=\frac{1}{{\text{e}}^{nx}+{\text{e}}^{(n-1)x}}$

b) Déterminer les limites de f_n en $\text{+}\text{∞}$ et $\text{–}\text{∞}$

Puisque $n\ge 2,$ alors $n-1>0.$ On a donc : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{nx}=\underset{X\to +\infty }{\lim }{e}^X=+\infty .$

De même, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{(n-1)x}=+\infty$, ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }(e^{nx}+e^{(n-1)x})=+\infty$.

On en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=0$.

En utilisant le fait que $n-1>0,$ on peut écrire que $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{nx}=\underset{X\to -\infty }{\lim }{e}^X=0$.

Et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{(n-1)x}=0$. De plus, pour tout x réel, ${\text{e}}^{nx}+{\text{e}}^{(n-1)x}>0,$

donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }(e^{nx}+e^{(n-1)x})=0.$ Ainsi $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_n(x)=+\infty$.

c) Étudier les variations de f_n

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction $f_n$ est dérivable sur $\text{ℝ}$ comme inverse d'une fonction dérivable sur $\text{ℝ}$ et ne s'annulant pas sur $\text{ℝ}.$

Pour tout x réel, on a ${f^{\prime }}_n(x)=-\frac{n{\text{e}}^{nx}+(n-1){\text{e}}^{(n-1)x}}{{({\text{e}}^{nx}+{\text{e}}^{(n-1)x})}^2}$.

On a $n>0 ; n-1>0$ et, pour tout réel x, ${\text{e}}^{nx}>0,{\text{ e}}^{(n-1)x}>0\text{ et }{({\text{e}}^{nx}+{\text{e}}^{(n-1)x})}^2>0$. Ainsi ${f^{\prime }}_n(x)<mn>0</mn>$ et f_n est donc décroissante sur $\text{ℝ}$.

Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions f_n

▶ 1. Calculer deux termes d'une suite

On a $u_1={\displaystyle {\int }_0^1{f}_1(x)\text{d}x}$ = ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^1-\frac{-{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}$.

On remarque que $x\mapsto \frac{-{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}$ est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u(x)=1+{\text{e}}^{-x}$. Une primitive de cette fonction sur $\text{ℝ}$ est donc $x\mapsto \ln (1+{\text{e}}^{-x}).$ On a alors :

$\begin{array}{c}{u}_1={\displaystyle {\int }_0^1-\frac{-{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}={\left[-\ln (1+{\text{e}}^{-x})\right]}_0^1=-\ln (1+{\text{e}}^{-1})+\ln (1+{\text{e}}^0)\\ =\text{ln}2-\ln (1+{\text{e}}^{-1}).\end{array}$

Ainsi $u_0+u_1={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1+{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{1}1\text{d}x=1}$.

D'où $u_0=1-u_1=1-\ln 2+\ln (1+{\text{e}}^{-1})$ et $u_1=\ln 2-\ln (1+{\text{e}}^{-1})$.

▶ 2. Déterminer un encadrement

Pour tout x de $\left[0;1\right],{\text{ e}}^{-x}\ge 0,$ donc $1+{\text{e}}^{-x}\ge 1,$ ainsi $0\le \frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}\le 1.$

En multipliant les trois termes de cet encadrement par le réel strictement positif ${\text{e}}^{-nx}$, on obtient : $0\le \frac{{\text{e}}^{-nx}}{1+{\text{e}}^{-x}}\le {\text{e}}^{-nx}$.

En intégrant chaque membre entre 0 et 1, on obtient : $0\le {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{-nx}}{1+{\text{e}}^{-x}}\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-nx}\text{d}x}$.

On a donc montré que, pour tout entier naturel n, .

▶ 3. Déterminer la limite d'une suite

La fonction $x\mapsto {\text{e}}^{-nx}$ est continue sur $\left[0;1\right],$ donc elle admet des primitives sur $\left[0;1\right]$ qui sont $x\mapsto -\frac{1}{n}{\text{e}}^{-nx}$.

On a donc ${\displaystyle {\int }_0^1{\text{e}}^{-nx}\text{d}x}={\left[-\frac{1}{n}{\text{e}}^{-nx}\right]}_0^1=-\frac{1}{n}{\text{e}}^{-n}-\left(-\frac{1}{n}{\text{e}}^0\right)=\frac{1-{\text{e}}^{-n}}{n}$.

Ainsi, $0\le u_n\le \frac{1-{\text{e}}^{-n}}{n}$.

On a, de plus, $\underset{n\to +\infty }{\lim }(1-e^{-n})=1\text{ et }\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty ,$ donc, par quotient, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-e^{-n}}{n}=0$.

D'après le théorème d'encadrement des limites, on en déduit que la suite $(u_n)$ converge et que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.