Annale corrigée Exercice

Etude d'une famille de fonctions

Compléments sur les fonctions

Étude d'une famille de fonctions

1 heure

6 points

Intérêt du sujet  On vous propose d'étudier non pas une fonction, mais tout une famille de fonctions ! Plus précisément, on étudie des fonctions dépendant d'un entier naturel n. Selon les valeurs de n, les allures des courbes et les propriétés sont différentes.

 

031_matT_2000_00_44C_01

On note fn la fonction définie sur par fn(x)=enx1+ex.

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O;i,j).

Les courbes C0, C1, C2 et C3 sont représentées ci-dessous.

Partie A : Quelques propriétés des fonctions fn

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

2. Étude de la fonction f0

a) Étudier le sens de variation de f0.

b) Préciser les limites de la fonction f0 en + et . Interpréter graphiquement ces limites.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction f0 sur .

3. Étude de la fonction f1

a) Démontrer que f0(x)=f1(x) pour tout nombre réel x.

b) En déduire les limites de la fonction f1 en + et , ainsi que son sens de variation.

c) Donner une interprétation géométrique de l'égalité obtenue à la question 3. a) pour les courbes C0 et C1.

4. Étude de la fonction fn pour n2

a) Vérifier que, pour tout entier naturel n2 et pour tout nombre réel x, on a : fn(x)=1enx+e(n1)x.

b) Étudier les limites de la fonction fn en + et .

c) Démontrer que la fonction fn est décroissante sur et dresser son tableau de variations.

Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions fn

On pose, pour tout entier naturel n, un=01fn(x)dx.

1. Calculer u1, puis montrer que u0+u1=1. En déduire u0.

2. Démontrer que, pour tout entier n, on a : 0un01enxdx.

3. Calculer l'intégrale 01enxdx. En déduire que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. À l'aide du graphique, on peut conjecturer les coordonnées du point A, puis le vérifier par le calcul. On peut aussi chercher l'intersection de deux courbes quelconques.

2. a) Utilisez les résultats connus sur des fonctions de référence ou déterminez le signe de la dérivée de f0.

b) Déterminez les deux limites en utilisant les opérations sur les limites.

3. a) À partir de l'expression de f0(x), utilisez l'égalité ex=1ex.

b) Utilisez la relation précédente pour obtenir les limites et le sens de variations de f1, considéré comme la composée de f0 et g:xx.

4. a) Pour tout x réel, enx=1enx.

b) Utilisez les opérations sur les limites.

c) Les variations de fn s'obtiennent à l'aide de sa dérivée.

Partie B

1. Pour calculer u1, il faut déterminer une primitive de f1, on reconnaîtra alors la forme uu.

2. Pour tout x, ex>0. On pourra alors minorer le dénominateur de f1.

3. Déterminez une primitive de xenx.

Partie A : Quelques propriétés des fonctions fn

1. Déterminer un point commun à toutes des courbes

Première méthode : D'après le graphique, on peut conjecturer que le point A0;12 est commun à toutes les courbes Cn. On vérifie la conjecture en calculant fn(0).

fn(0)=en×01+e0=12. Le nombre fn(0) ne dépend pas de n, le point A0;12 est donc commun à toutes les courbes Cn.

Deuxième méthode : Soient m et n deux entiers naturels distincts, on cherche l'intersection des courbes Cn et Cm.

M(x;y)CnCmy=fn(x)y=fm(x)y=fn(x)fn(x)=fm(x)

On résout : fn(x)=fm(x)en×x1+ex=em×x1+exenx=emxnx=mx

x(mn)=0x=0 (car m et n sont distincts).

Il reste à déterminer y ; on a y=fn(0)=12.

Toutes les courbes passent donc par le point A0;12.

2. a) Étudier les variations d'une fonction

à noter

Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I et telle que, pour tout x de I, u(x)0, alors la fonction 1u est dérivable sur I et a pour dérivée uu2.

On a f0(x)= e0×x1+ex=11+ex. Pour tout x réel, 1+ex>0, donc f0 est bien définie et dérivable sur comme inverse d'une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur .

Pour tout x réel, on a :

f0(x)=ex(1+ex)2=ex(1+ex)2.

f0(x)>0, donc f0 est strictement croissante sur .

b) Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

Limite en  : limxex=+ car limxx = + et limx+ex=+.

Ainsi limx(1+ex)=+ et, par quotient, limx11+ex=0, soit limxf0(x)=0.

Limite en + : limx+ex=limx+1ex=0.

Ainsi limx+f0(x)=limx+11=1.

On déduit de ces deux résultats que la courbe représentant f0 admet deux asymptotes : les droites d'équation y=0 et y=1.

c) Établir un tableau de variations

Tous les résultats sont rassemblés dans le tableau de variations ci-dessous.

031_matT_2000_00_44C_tab01

3. a) Comparer deux fonctions

On a f0(x)=11+ex=11+1ex=1ex+1ex=exex+1=e(x)1+e(x)=f1(x).

Ainsi, pour tout x réel, on a bien f0(x)=f1(x).

b) Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

limxf1(x)=limxf0(x)=limX+f0(X)=1

et limx+f1(x)=limx+f0(x)=limXf0(X)=0.

Variations de f1 sur  : f1 est dérivable sur , on remarque que f1=f0h avec h:xx.

à noter

La dérivée d'une fonction composée xfg(x) est x(fg)(x)×g(x), avec les conditions d'existence des différentes dérivées.

On a donc x : f1(x)=(f0h)(x)×h(x)=(f0(x))×(1)=f0(x).

Pour tout réel x, f0(x)>0. On en déduit que, pour tout réel x, f1(x)0.

La fonction f1 est donc décroissante sur .

c) Mettre en relation les positions de deux courbes

Pour tout réel x, le point de C0 d'abscisse x a la même ordonnée que le point de C1 d'abscisse x. Cela signifie que les courbes C0 et C1 sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

4. a) Donner une autre expression d'une fonction

fn(x)=en×x1+ex=1enx1+ex=1enx×11+ex=1enx+enx×ex=1enx+e(n1)x

b) Déterminer les limites de fn en + et

Puisque n2, alors n1>0. On a donc : limx+enx=limX+eX=+.

De même, limx+e(n1)x=+, ainsi limx+(enx+e(n1)x)=+.

On en déduit que limx+fn(x)=0.

En utilisant le fait que n1>0, on peut écrire que limxenx=limXeX=0.

Et limxe(n1)x=0. De plus, pour tout x réel, enx+e(n1)x>0,

donc limx(enx+e(n1)x)=0. Ainsi limxfn(x)=+.

c) Étudier les variations de fn

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction fn est dérivable sur comme inverse d'une fonction dérivable sur et ne s'annulant pas sur .

Pour tout x réel, on a fn(x)=nenx+(n1)e(n1)x(enx+e(n1)x)2.

On a n>0 ; n1>0 et, pour tout réel x, enx>0, e(n1)x>0 et (enx+e(n1)x)2>0. Ainsi fn(x)0 et fn est donc décroissante sur .

031_matT_2000_00_44C_tab02

Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions fn

1. Calculer deux termes d'une suite

On a u1=01f1(x)dx = 01ex1+exdx=01ex1+exdx.

On remarque que xex1+ex est de la forme uu avec u(x)=1+ex. Une primitive de cette fonction sur est donc xln(1+ex). On a alors :

u1=01ex1+exdx=ln(1+ex)01=ln(1+e1)+ln(1+e0)=ln2ln(1+e1).

Ainsi u0+u1=0111+exdx+01ex1+exdx=011+ex1+exdx=011dx=1.

D'où u0=1u1=1ln2+ln(1+e1) et u1=ln2ln(1+e1).

2. Déterminer un encadrement

Pour tout x de 0;1, ex0, donc 1+ex1, ainsi 011+ex1.

En multipliant les trois termes de cet encadrement par le réel strictement positif enx, on obtient : 0enx1+exenx.

En intégrant chaque membre entre 0 et 1, on obtient : 001enx1+exdx01enxdx.

On a donc montré que, pour tout entier naturel n, 0un01enxdx.

3. Déterminer la limite d'une suite

La fonction xenx est continue sur 0;1, donc elle admet des primitives sur 0;1 qui sont x1nenx.

On a donc 01enxdx=1nenx01=1nen1ne0=1enn.

Ainsi, 0un1enn.

On a, de plus, limn+(1en)=1 et limn+n=+, donc, par quotient, limn+1enn=0.

D'après le théorème d'encadrement des limites, on en déduit que la suite (un) converge et que limn+un=0.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner