Étude d’une fonction application au bénéfice d’une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 4 • 5 points

Étude d’une fonction  application au bénéfice d’une entreprise

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3   13] par :

f(x= – 2x + 20 – e–2x+10.

partie a. Étude de la fonction f

1. Montrer que la fonction dérivée f de la fonction f, définie pour tout x de l’intervalle [3   13], a pour expression :

f(x)=2(1+e2x+10). (0,75 point)

2. a) Résoudre dans l’intervalle [3   13] l’inéquation f(x)  0. (0,5 point)

b) En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle [3   13] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10–3. (0,75 point)

c) Calculer l’intégrale 313f(x)dx. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10–3 près. (1 point)

partie b. application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3   13] par la fonction f.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro. (0,5 point)

2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro. (0,5 point)

partie c. rentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Intégrale, calculs d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie B

2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 2. c) de la partie A.

Partie C

Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour étudier les solutions de l’équation f(x) = 0 et le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

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