Étude d’une fonction ; application au bénéfice d’une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 4 • 5 points

Étude d’une fonction ; application au bénéfice d’une entreprise

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3 ; 13] par :

f(x= – 2x + 20 – e–2x+10.

partie a. Étude de la fonction f

1. Montrer que la fonction dérivée f de la fonction f, définie pour tout x de l’intervalle [3 ; 13], a pour expression :

f(x)=2(1+e2x+10). (0,75 point)

2. a) Résoudre dans l’intervalle [3 ; 13] l’inéquation f(x)  0. (0,5 point)

b) En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle [3 ; 13] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10–3. (0,75 point)

c) Calculer l’intégrale 313f(x)dx. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10–3 près. (1 point)

partie b. application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3 ; 13] par la fonction f.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro. (0,5 point)

2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro. (0,5 point)

partie c. rentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Intégrale, calculs d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie B

2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 2. c) de la partie A.

Partie C

Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour étudier les solutions de l’équation f(x) = 0 et le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Corrigé

Corrigé

partie a. Étude de la fonction f

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x de l’intervalle [3;13] :

f(x)=2(2)×e2x+10=2+2 e2x+10

f(x)=2(1+e2x+10).

2. a) Résoudre une inéquation associée à la dérivée d’une fonction

f(x)02(1+e2x+10)01+e2x+100e2x+101.

1=e0 et la fonction exponentielle étant strictement croissante sur  :

f(x)02x+100x5.

L’ensemble des solutions dans l’intervalle [3;13] de l’inéquation f(x)0 est [3;5].

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente : f(x)>0 si x[3;5[;f(5)=0;f(x)<0 si x]5;13].

Donc f est strictement croissante sur [3;5], strictement décroissante sur [5;13]. Son tableau de variations sur l’intervalle [3;13] est :

matT_1605_09_00C_tab1

f(3)=14e440,598;f(5)=10e0=9;f(13)=6e166

(en arrondissant à 103).

c) Calculer une intégrale

Une primitive sur [3;13] de f est la fonction F définie par :

F(x)=x2+20x12e2x+10=x2+20x+12e2x+10.

313f(x)dx=F(13)F(3)=[x2+20x+12e2x+10]313

Notez bien

On peut vérifier que, pour tout x appartenant à [3;13], F(x)=f(x).

313f(x)dx=169+260+12e16+96012e4

313f(x)dx=40+12(e16e4)12,701

(valeur approchée à 103près).

partie b. application

1. Déterminer une production permettant d’obtenir un bénéfice maximal

D’après la question précédente, le bénéfice de l’usine est maximal pour x=5, c’est-à-dire pour 500 toboggans produits.

f(5)=9 et f donne le bénéfice en milliers d’euros, donc le bénéfice maximal est 9 000 euros.

2. Calculer un bénéfice moyen

Le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans est, en milliers d’euros :

1133313f(x)dx=110313f(x)dx1,270.

Le bénéfice moyen, pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans, est donc, arrondi à l’euro, environ 1 270 euros.

partie c. rentabilité

Déterminer les productions pour lesquelles une usine est rentable

La fonction f est continue sur l’intervalle [3;13], strictement croissante sur [3;5], strictement décroissante sur [5;13].

De plus, f(3)<0, f(5)>0, f(13)<0, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x)=0 admet une solution α dans [3;5] et une solution β dans [5;13].

D’après le tableau de variations de f, f(x)>0 si et seulement siα<x<β.

Avec la calculatrice :

f(3,73)<0; f(0,374)>0; f(9,99)>0; f(10)<0.

D’où :

3,73<α<3,74 et 9,99<β<10.

Notez bien

Une fabrication de 973 ou de 1 000 toboggans donne un bénéfice négatif.

L’usine est donc rentable si elle fabrique entre 374 et 999 toboggans en un mois.