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Étude d'une fonction avec logarithme et exponentielle

France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2 Exercice 4

Étude d’une fonction avec logarithme et exponentielle

55 min

5 points

Intérêt du sujet Une fonction est donnée par son expression algébrique et sa courbe représentative. Après une étude classique des variations et des limites, deux questions portent sur les tangentes à la courbe représentative.

 

On considère la fonction f définie sur ℝ par fx=ln1+ex, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ; i, j.

La courbe C est tracée ci-dessous.

065_matT_2303_07_07C_01

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en - ∞.

b) Déterminer la limite de la fonction f en + . Interpréter graphiquement ce résultat.

c) On admet que la fonction f est dérivable sur ℝ et on note f sa fonction dérivée.

Calculer fx puis montrer que, pour tout nombre réel x, fx=11+ex.

d) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ℝ.

2. On note T0 la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 0.

a) Déterminer une équation de la tangente T0.

b) Montrer que la fonction f est convexe sur ℝ.

c) En déduire que, pour tout nombre réel x, on a : fx12x+ln2.

3. Pour tout nombre réel a différent de 0, on note Ma et Na les points de la courbe C d’abscisses respectives - a et a.

On a donc : Ma(a ;f(a)) et Na(a ;f(a)).

a) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : fxfx=x

b) En déduire que les droites T0 et (MaNa) sont parallèles.

 

Les clés du sujet

2. b) Cette question est indépendante de la précédente.

c) Utilisez le résultat prouvé à la question 2. b).

3. b) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Utilisez le résultat de la question précédente.

1. a) Déterminer la limite d’une fonction en – 

limxx=+ etlimX+eX=+, donc par composée :

limxex=+.

Par somme et composée :

limxfx=+.

b) Déterminer la limite d’une fonction en + 

limx+x= etlimXeX=0, donc par composée :

limx+ex=0.

Par somme et composée :

limx+fx=0.

On en déduit que la droite d’équation y = 0 (c’est-à-dire l’axe des abscisses) est asymptote en +  à la courbe C.

c) Calculer la dérivée d’une fonction

f est de la forme lnu avec ux=1+ex, donc f=uu.

Pour tout réel x, fx=ex1+ex=ex×exex1+ex, donc fx=11+ex.

d) Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x ∈ ℝ, ex>0, donc fx<0. f est donc strictement décroissante sur ℝ. On a le tableau de variations suivant :

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; - ∞; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; -; ; Ligne 3 : Variationsde f; + ∞; ; 0;

2. a) Déterminer une équation d’une tangente à une courbe

T0 a pour équation y=f0x+f0.

Or f0=ln1+e0=ln2 et f0=11+e0=12.

Donc T0 a pour équation y=12x+ln2.

b) Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout x ∈ ℝ :

fx=ex1+ex2

fx=ex1+ex2.

fx>0 pour tout x ∈ ℝ, donc f est convexe sur .

c) Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes

Puisque f est convexe sur ℝ, la courbe C est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de T0. Donc, pour tout réel x :

fx12x+ln2.

3. a) Montrer une propriété d’une fonction

Pour tout réel x :

fxfx=ln1+exln1+ex=ln1+ex1+ex=lnex1+exex1+ex=lnex+1ex1+ex=ln1ex=lnex

soit fxfx=x.

b) Montrer que deux droites sont parallèles

Le coefficient directeur de la droite T0 est 12.

Celui de la droite (MaNa) est fafaaa=a2a.

à noter

On a montré à la question précédente que, pour tout réel x, fxfx=x.

On sait que a ≠ 0. Après simplification par a, on obtient que le coefficient directeur de la droite (MaNa) est égal à 12.

Les droites T0 et (MaNa) ont le même coefficient directeur 12, donc elles sont parallèles.

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