▶ 1. a) Déterminer la limite d’une fonction en – ∞

$\underset{x\to -\infty }{\lim }-x=+\infty \text{et}\underset{X\to +\infty }{\text{lim}}{\text{e}}^X=+\infty$, donc par composée :

$\underset{x\to -\text{∞}}{\text{lim}}{\text{e}}^{-x}=+\text{∞}$.

Par somme et composée :

$\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=+\infty$.

b) Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

$\underset{x\to +\infty }{\lim }-x=-\infty \text{et}\underset{X\to -\infty }{\text{lim}}{\text{e}}^X=0$, donc par composée :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\text{lim}}{\text{e}}^{-x}=0$.

Par somme et composée :

$\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=0$.

On en déduit que la droite d’équation y = 0 (c’est-à-dire l’axe des abscisses) est asymptote en + ∞ à la courbe $C$.

c) Calculer la dérivée d’une fonction

f est de la forme $\ln \left(u\right)$ avec$u\left(x\right)=1+{\text{e}}^{-x}$, donc $f^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$.

Pour tout réel x,$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}=\frac{-{\text{e}}^{-x}\times {\text{e}}^x}{{\text{e}}^x\left(1+{\text{e}}^{-x}\right)}$, donc $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{1+{\text{e}}^x}$.

d) Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x ∈ ℝ, ${\text{e}}^x>0$, donc $f^{\prime }\left(x\right)<0$. f est donc strictement décroissante sur ℝ. On a le tableau de variations suivant :

▶ 2. a) Déterminer une équation d’une tangente à une courbe

T₀ a pour équation $y=f^{\prime }\left(0\right)x+f\left(0\right)$.

Or $f\left(0\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^0\right)=\ln \left(2\right)$ et $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{-1}{1+{\text{e}}^0}=-\frac{1}{2}$.

Donc T₀ a pour équation $y=-\frac{1}{2}x+\ln \left(2\right)$.

b) Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout x ∈ ℝ :

$f^{″}\left(x\right)=-\left(-\frac{{\text{e}}^x}{{\left(1+{\text{e}}^x\right)}^2}\right)$

$f^{″}\left(x\right)=\frac{{\text{e}}^x}{{\left(1+{\text{e}}^x\right)}^2}$.

$f^{″}\left(x\right)>0$ pour tout x ∈ ℝ, donc $f$ est convexe sur $\text{ℝ}$.

c) Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes

Puisque f est convexe sur ℝ, la courbe $C$ est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de T₀. Donc, pour tout réel x :

$f\left(x\right)\ge -\frac{1}{2}x+\ln \left(2\right)$.

▶ 3. a) Montrer une propriété d’une fonction

Pour tout réel x :

$\begin{array}{c}f\left(x\right)-f\left(-x\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^{-x}\right)-\ln \left(1+{\text{e}}^x\right)\\ =\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^x}\right)\\ =\ln \left(\frac{{\text{e}}^x\left(1+{\text{e}}^{-x}\right)}{{\text{e}}^x\left(1+{\text{e}}^x\right)}\right)\\ =\ln \left(\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x\left(1+{\text{e}}^x\right)}\right)\\ =\ln \left(\frac{1}{{\text{e}}^x}\right)\\ =-\ln \left({\text{e}}^x\right)\end{array}$

soit $f\left(x\right)-f\left(-x\right)=-x$.

b) Montrer que deux droites sont parallèles

Le coefficient directeur de la droite T₀ est $-\frac{1}{2}$.

Celui de la droite (M_aN_a) est $\frac{f\left(a\right)-f\left(-a\right)}{a-\left(-a\right)}=\frac{-a}{2a}$.

On sait que a ≠ 0. Après simplification par a, on obtient que le coefficient directeur de la droite (M_aN_a) est égal à $-\frac{1}{2}$.

Les droites T₀ et (M_aN_a) ont le même coefficient directeur $-\frac{1}{2}$, donc elles sont parallèles.