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Étude d'une fonction comportant un logarithme

Sujet spécimen 2021 n° 1 • Exercice 4B

Étude d'une fonction comportant un logarithme

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, on étudie différentes propriétés d'une fonction comportant un logarithme ; on s'intéresse aussi à la convexité de sa courbe représentative.

 

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par :

f(x)=x+44ln(x)3x

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de la fonction f en + .

2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; + [ et on note f′ sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0, on a :

f(x)=x24x+3x2 .

3. a) Donner le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + [. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de f en 0 et en + . On admettra que limx0f(x)=.

b) Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation f(x)=53.

4. Étudier la convexité de la fonction f, c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle ]0 ; + [ sur lesquelles f est convexe, et celles sur lesquelles f est concave. On justifiera que la courbe C admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

 

Les clés du sujet

1. Pour lever l'indétermination, factorisez l'expression de f(x), puis utilisez un résultat du cours sur les croissances comparées.

3. b) On demande seulement le nombre de solutions de l'équation.

4. Pour étudier la convexité d'une fonction, on s'intéresse au signe de sa dérivée seconde.

1. Déterminer la limite d'une fonction en + 

info +

Dans une somme, lorsque deux termes ont des limites infinies de signes contraires, on est dans un cas d'indétermination. Généralement, pour « lever » cette indétermination, on met en facteur le terme « dominant ».

limx+(x+4)=+; limx+(4ln(x))= et limx+3x=0.

Pour la somme, on est dans un cas d'indétermination.

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[ : f(x)=x1+4xln(x)x3x2.

limx+4x=0 ; limx+ln(x)x=0 (croissances comparées) ; limx+3x2=0, donc par somme : limx+1+4xln(x)x3x2=1 et, par produit, limx+f(x)=+.

2. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x > 0 : f(x)=14x+3x2, donc f(x)=x24x+3x2.

3. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout x dans ]0 ; + [, x2>0, donc f(x) est du signe de x24x+3.

Les racines de ce trinôme sont 1 et 3, d'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 11 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; ; 1; ; 3; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; ; ; ; +; 0; -; 0; +; ; Ligne 3 : Variations de f; ; ; ; - ∞; ; 2; 6 - 4ln(3); + ∞;

b) Donner le nombre de solutions d'une équation

info +

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation possède une unique solution dans chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 3[ et ]3 ; + [.

64ln(3)1,61, soit 64ln(3)532, donc d'après le tableau précédent, l'équation f(x)=53 possède 3 solutions.

4. Étudier la convexité d'une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + [,

f(x)=x2(2x4)2x(x24x+3)x4

f(x)=2x24x2x2+8x6x3=4x6x3.

x3>0 pour tout x dans ]0 ; + [, donc f(x) a le signe de 4x - 6. Donc :

Si 0x32, alors 4x - 6 ≤ 0, donc f(x)0 ;

F est concave sur ; 32.

Si x32, alors 4x - 6 ≥ 0, donc f(x)0 ;

F est convexe sur 32 ; +.

f″ s'annule et change de signe en 32, donc la courbe C a un unique point d'inflexion I d'abscisse 32.

f32=1124ln322=724ln32.

La courbe C admet un unique point d'inflexion :

I32 ; 724ln32.

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