Annale corrigée Exercice

Étude d'une fonction comportant un logarithme

1. Déterminer la limite d'une fonction en + 

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Dans une somme, lorsque deux termes ont des limites infinies de signes contraires, on est dans un cas d'indétermination. Généralement, pour « lever » cette indétermination, on met en facteur le terme « dominant ».

limx+(x+4)=+; limx+(4ln(x))= et limx+3x=0.

Pour la somme, on est dans un cas d'indétermination.

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[ : f(x)=x1+4xln(x)x3x2.

limx+4x=0 ; limx+ln(x)x=0 (croissances comparées) ; limx+3x2=0, donc par somme : limx+1+4xln(x)x3x2=1 et, par produit, limx+f(x)=+.

2. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x > 0 : f(x)=14x+3x2, donc f(x)=x24x+3x2.

3. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout x dans ]0 ; + [, x2>0, donc f(x) est du signe de x24x+3.

Les racines de ce trinôme sont 1 et 3, d'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 11 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; ; 1; ; 3; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; ; ; ; +; 0; -; 0; +; ; Ligne 3 : Variations de f; ; ; ; - ∞; ; 2; 6 - 4ln(3); + ∞;

b) Donner le nombre de solutions d'une équation

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D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation possède une unique solution dans chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 3[ et ]3 ; + [.

64ln(3)1,61, soit 64ln(3)532, donc d'après le tableau précédent, l'équation f(x)=53 possède 3 solutions.

4. Étudier la convexité d'une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + [,

f(x)=x2(2x4)2x(x24x+3)x4

f(x)=2x24x2x2+8x6x3=4x6x3.

x3>0 pour tout x dans ]0 ; + [, donc f(x) a le signe de 4x - 6. Donc :

Si 0x32, alors 4x - 6 ≤ 0, donc f(x)0 ;

F est concave sur ; 32.

Si x32, alors 4x - 6 ≥ 0, donc f(x)0 ;

F est convexe sur 32 ; +.

f″ s'annule et change de signe en 32, donc la courbe C a un unique point d'inflexion I d'abscisse 32.

f32=1124ln322=724ln32.

La courbe C admet un unique point d'inflexion :

I32 ; 724ln32.

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