Terminale générale Mathématiques Compléments sur la dérivation

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Sujet complet 1 • Exercice 4B

matT_2100_07_04C

Sujet spécimen 2021 n° 1 • Exercice 4B

Étude d'une fonction comportant un logarithme

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, on étudie différentes propriétés d'une fonction comportant un logarithme ; on s'intéresse aussi à la convexité de sa courbe représentative.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ par :

$f (x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \frac{3}{x}$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $C$ la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

▶ 1. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.

▶ 2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et on note f′ sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0, on a :

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2}} .$

▶ 3. a) Donner le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + ∞[. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de f en 0 et en + ∞. On admettra que $\lim_{x \to 0} f (x) = - \infty$ .

b) Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f (x) = \frac{5}{3}$ .

▶ 4. Étudier la convexité de la fonction f, c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle ]0 ; + ∞[ sur lesquelles f est convexe, et celles sur lesquelles f est concave. On justifiera que la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Les clés du sujet

▶ 1. Pour lever l'indétermination, factorisez l'expression de f(x), puis utilisez un résultat du cours sur les croissances comparées.

▶ 3. b) On demande seulement le nombre de solutions de l'équation.

▶ 4. Pour étudier la convexité d'une fonction, on s'intéresse au signe de sa dérivée seconde.

▶ 1. Déterminer la limite d'une fonction en + ∞

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Dans une somme, lorsque deux termes ont des limites infinies de signes contraires, on est dans un cas d'indétermination. Généralement, pour « lever » cette indétermination, on met en facteur le terme « dominant ».

$\lim_{x \to + ∞} (x + 4) = + ∞$ ; $\lim_{x \to + ∞} (- 4 \ln (x)) = - ∞$ $et \lim_{x \to + ∞} (- \frac{3}{x}) = 0$ .

Pour la somme, on est dans un cas d'indétermination.

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[ : $f (x) = x (1 + \frac{4}{x} - 4 \frac{\ln (x)}{x} - \frac{3}{x^{2}})$ .

$\lim_{x \to + ∞} \frac{4}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to + ∞} \frac{\ln (x)}{x} = 0$ (croissances comparées) ; $\lim_{x \to + ∞} \frac{3}{x^{2}} = 0$ , donc par somme : $\lim_{x \to + ∞} (1 + \frac{4}{x} - 4 \frac{\ln (x)}{x} - \frac{3}{x^{2}}) = 1$ et, par produit, $\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ .

▶ 2. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x > 0 : $f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ , donc $f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2}}$ .

▶ 3. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[, $x^{2} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du signe de $x^{2} - 4 x + 3$ .

Les racines de ce trinôme sont 1 et 3, d'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 11 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; ; 1; ; 3; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; ; ; ; +; 0; -; 0; +; ; Ligne 3 : Variations de f; ; ; ; - ∞; ; 2; 6 - 4ln(3); + ∞;

b) Donner le nombre de solutions d'une équation

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D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation possède une unique solution dans chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 3[ et ]3 ; + ∞[.

$6 - 4 \ln (3) \approx 1,61$ , soit $6 - 4 \ln (3) \frac{5}{3} 2$ , donc d'après le tableau précédent, l'équation $f (x) = \frac{5}{3}$ possède 3 solutions.

▶ 4. Étudier la convexité d'une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[,

$f^{″} (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) - 2 x (x^{2} - 4 x + 3)}{x^{4}}$

$f^{″} (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 8 x - 6}{x^{3}} = \frac{4 x - 6}{x^{3}}$ .

$x^{3} > 0$ pour tout x dans ]0 ; + ∞[, donc $f^{″} (x)$ a le signe de 4x - 6. Donc :

Si $0 x \leq \frac{3}{2}$ , alors 4x - 6 ≤ 0, donc $f^{″} (x) \leq 0$ ;

$F$ est concave sur $]0; \frac{3}{2}]$ .

Si $x \geq \frac{3}{2}$ , alors 4x - 6 ≥ 0, donc $f^{″} (x) \geq 0$ ;

$F$ est convexe sur $[\frac{3}{2}; + \infty[$ .

f″ s'annule et change de signe en $\frac{3}{2}$ , donc la courbe $C$ a un unique point d'inflexion I d'abscisse $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{11}{2} - 4 \ln (\frac{3}{2}) - 2 = \frac{7}{2} - 4 \ln (\frac{3}{2})$ .

La courbe $C$ admet un unique point d'inflexion :

$I (\frac{3}{2}; \frac{7}{2} - 4 \ln (\frac{3}{2})) .$

Étude d'une fonction comportant un logarithme

Les clés du sujet

▶ 1. Déterminer la limite d'une fonction en + ∞

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▶ 2. Calculer la dérivée d'une fonction

▶ 3. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

b) Donner le nombre de solutions d'une équation

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▶ 4. Étudier la convexité d'une fonction

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