Étude d'une fonction comportant un logarithme et calcul d'une intégrale

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 4 • 6 points

On considère la fonction 4448237-Eqn46 définie sur 4448237-Eqn47 par :

4448237-Eqn48

On note 4448237-Eqn49 la fonction dérivée de la fonction 4448237-Eqn50.

1. Vérifier que 4448237-Eqn51. (0,75 point)

2. Étudier le signe de la fonction 4448237-Eqn52 sur 4448237-Eqn53, en déduire le tableau de variations de 4448237-Eqn54 sur 4448237-Eqn55. (1 point)

3. Montrer que l’équation 4448237-Eqn56 admet une unique solution 4448237-Eqn57 sur l’intervalle 4448237-Eqn58. (1 point)

Donner une valeur approchée de 4448237-Eqn59 à 4448237-Eqn60 par défaut. (0,5 point)

4. On considère la fonction 4448237-Eqn61 définie et dérivable sur 4448237-Eqn62 telle que :

4448237-Eqn63

Montrer que 4448237-Eqn64 est une primitive de 4448237-Eqn65 sur 4448237-Eqn66. (0,75 point)

5. Calculer 4448237-Eqn67. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. (1,25 point)

6. En déduire la valeur moyenne de la fonction 4448237-Eqn68 sur l’intervalle 4448237-Eqn69 et en donner une valeur approchée au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction

Les conseils du correcteur

3. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction 4448237-Eqn205 est dérivable sur 4448237-Eqn206 et pour tout 4448237-Eqn207 dans cet intervalle :

4448237-Eqn208

4448237-Eqn209

2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

4448237-Eqn210 appartient à 4448237-Eqn211, donc 4448237-Eqn212, et 4448237-Eqn213 a le signe de 4448237-Eqn214 qui est un trinôme du second degré dont le discriminant est :

4448237-Eqn216.

Le trinôme a deux racines dans 4448237-Eqn217 :

4448237-Eqn218

Le trinôme 4448237-Eqn219 est donc strictement négatif si 4448237-Eqn220 ou 4448237-Eqn221, strictement positif si 4448237-Eqn222. D’où le tableau :

matT_1409_07_00C_tab_01

4448237-Eqn230

3. Montrer qu’une équation admet une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

Pour tout 4448237-Eqn231, 4448237-Eqn232 ; l’équation 4448237-Eqn233 n’a pas de solution dans l’intervalle 4448237-Eqn234.

Sur l’intervalle 4448237-Eqn235, la fonction 4448237-Eqn236 est continue et strictement décroissante, et 4448237-Eqn237, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 4448237-Eqn238 admet une unique solution 4448237-Eqn239 dans l’intervalle 4448237-Eqn240.

Finalement, l’équation 4448237-Eqn241 a une unique solution 4448237-Eqn242 sur l’intervalle 4448237-Eqn243.

D’après la calculatrice :

4448237-Eqn244 et 4448237-Eqn245, donc 4448237-Eqn246.

4448237-Eqn247, donc 4448237-Eqn248.

4448237-Eqn249 et 4448237-Eqn250, donc 4448237-Eqn251.

3,07 est une valeur approchée de 4448237-Eqn252 à 4448237-Eqn253 près par défaut.

4. Démontrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une fonction connue

Pour tout 4448237-Eqn254 dans l’intervalle 4448237-Eqn255 :

4448237-Eqn256 soit 4448237-Eqn257

La fonction 4448237-Eqn258 est donc une primitive de 4448237-Eqn259 sur 4448237-Eqn260.

5. Calculer une intégrale

4448237-Eqn261est une primitive de 4448237-Eqn262 sur 4448237-Eqn263, donc :

4448237-Eqn264

4448237-Eqn265

4448237-Eqn266

6. Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de 4448237-Eqn267 sur l’intervalle 4448237-Eqn268 est 4448237-Eqn269 défini par :

4448237-Eqn270

4448237-Eqn271