Étude d'une fonction comportant un logarithme et calcul d'une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 4 • 6 points

On considère la fonction 4448237-Eqn46 définie sur 4448237-Eqn47 par :

4448237-Eqn48

On note 4448237-Eqn49 la fonction dérivée de la fonction 4448237-Eqn50.

1. Vérifier que 4448237-Eqn51. (0,75 point)

2. Étudier le signe de la fonction 4448237-Eqn52 sur 4448237-Eqn53, en déduire le tableau de variations de 4448237-Eqn54 sur 4448237-Eqn55. (1 point)

3. Montrer que l’équation 4448237-Eqn56 admet une unique solution 4448237-Eqn57 sur l’intervalle 4448237-Eqn58. (1 point)

Donner une valeur approchée de 4448237-Eqn59 à 4448237-Eqn60 par défaut. (0,5 point)

4. On considère la fonction 4448237-Eqn61 définie et dérivable sur 4448237-Eqn62 telle que :

4448237-Eqn63

Montrer que 4448237-Eqn64 est une primitive de 4448237-Eqn65 sur 4448237-Eqn66. (0,75 point)

5. Calculer 4448237-Eqn67. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. (1,25 point)

6. En déduire la valeur moyenne de la fonction 4448237-Eqn68 sur l’intervalle 4448237-Eqn69 et en donner une valeur approchée au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction

Les conseils du correcteur

3. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.