Étude d’une fonction comportant une exponentielle ; représentation graphique et calcul d’une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Étude d’une fonction comportant une exponentielle ; représentation graphique et calcul d’une aire

Intégration

matT_1311_03_04C

Ens. spécifique

21

CORRIGE

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 2 • 6 points

On considère f la fonction définie sur par :

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et la fonction dérivée de f.

>1.a) Montrer que, pour tout réel  :

(0,5 point)

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

>2.a) Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [– 1 ; 0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

>3. Montrer que l’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est :

. (0,5 point)

>4. L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.



Instruction


Réponse


1




2


dérivée seconde



3


résoudre


a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l’intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l’intervalle  ; 2]. (0,5 point)

>5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.


a) On considère la fonction F définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d’équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>2. a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

>4. c) Si une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, alors sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes ; si la fonction est concave, alors sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes.

Corrigé
Corrigé

>1. a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

D’après la formule de dérivation du produit de deux fonctions, pour tout réel

b) Étudier le sens de variation d’une fonction comportant une exponentielle

Notez bien

admet un maximum en  ; ce maximum est

Pour tout réel , , donc est du signe de .

Sur , doncest strictement croissante sur ]–; 1[.

Sur , doncest strictement décroissante sur ]1 ; +[.

>2. a) Montrer qu’une équation a une solution unique

Notez bien

.

D’après la question précédente, la fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle [–1 ; 0].

et , donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationa une unique solutiondans l’intervalle [–1 ; 0].

b) Donner un encadrement d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice, et , donc

, donc :

>3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente

L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse est :

.

Ici  ; et .

Donc a pour équation , soit :

>4. a) Étudier le sens de variation de la dérivée d’une fonction

Pour étudier le sens de variation de , on calcule sa dérivée

D’après le tableau donné, pour tout réel , (ce résultat peut être obtenu en calculant la dérivée de la fonction déterminée au début de l’exercice).

Pour tout réel , , donc est du signe de .

Sur l’intervalle , , donc , et donc est strictement décroissante sur.

Sur l’intervalle , donc , et donc est strictement croissante sur.

(Ces résultats correspondent à ceux obtenus par le logiciel de calcul formel.)

b) Étudier la convexité d’une fonction

De la question précédente, on déduit queest convexe suretconcave sur.

c) Étudier la position de la courbe représentative d’une fonction par rapport à l’une de ses tangentes

Notez bien

Cette conclusion est confirmée par la représentation graphique donnée à la question suivante.

et est concave sur , donc sur cet intervalle, est entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes.

Doncest en-dessous de T sur l’intervalle; 2].

>5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Soit F la fonction définie sur par

Pour tout réel ,

est donc une primitive desur.

b) Calculer l’aire d’un domaine plan

D’après la question précédente, est en-dessous de T sur l’intervalle [0 ; 1].

Donc l’aire, en unités d’aire, du domaine hachuré est :