Étude d’une fonction comportant une exponentielle  représentation graphique et calcul d’une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Étude d’une fonction comportant une  exponentielle  représentation graphique et  calcul d’une aire

Intégration

matT_1311_03_04C

Ens. spécifique

21

CORRIGE

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 2 • 6 points

On considère f la fonction définie sur par  :

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et la fonction dérivée de f.

>1.a) Montrer que, pour tout réel   :

(0,5 point)

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

>2.a) Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [–  1  0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

>3. Montrer que l’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est  :

. (0,5 point)

>4. L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.



Instruction


Réponse


1




2


dérivée seconde



3


résoudre


a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l’intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l’intervalle   2]. (0,5 point)

>5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.


a) On considère la fonction F définie sur par  :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d’équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>2. a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

>4. c) Si une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, alors sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes  si la fonction est concave, alors sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes.

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