Étude d’une fonction, de sa convexité et calcul d’une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
&Eacute tude d&rsquo une fonction, de sa convexit&eacute et  calcul d&rsquo une int&eacute grale

Analyse &bull Int&eacute gration

Corrig&eacute

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Ens. Sp&eacute cifique

matT_1306_01_05C

Afrique &bull Juin 2013

Exercice 3 &bull 6 points

On consid&egrave re la fonction  d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [2  8] par  :

.

On appelle (C) sa courbe repr&eacute sentative dans un rep&egrave re.

&gt 1.  Montrer que pour tout r&eacute el de l&rsquo intervalle [2  8], on a  :

(1 point)

&gt 2.a)  &Eacute tudier le signe de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,75  point)

b)  En d&eacute duire le tableau de variation de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,5  point)

&gt 3.  On appelle la d&eacute riv&eacute e seconde de sur [2  8].

On admet que, pour tout r&eacute el de l&rsquo intervalle [2  8], on a  :

.

a)  Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8  8]. (1  point)

b)  Montrer que le point de (C) d&rsquo abscisse  4,8 est un point d&rsquo inflexion. (1  point)

&gt 4.  On consid&egrave re la fonction  d&eacute finie sur [2  8] par  :

a)  Montrer que  est une primitive de  sur [2  8]. (0,75  point)

b)  Calculer (1  point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 50  min.

Les th&egrave mes en jeu

D&eacute riv&eacute e &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Fonction logarithme n&eacute p&eacute rien &bull Convexit&eacute &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitive.

Les conseils du correcteur

&gt 3.a)  &Eacute tudiez le signe de

&gt 4.b)  Utilisez la primitive de  donn&eacute e &agrave la question pr&eacute c&eacute dente.