Annale corrigée Exercice Ancien programme

Étude d'une fonction, de sa convexité et calcul d'une intégrale

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d'une fonction, de sa convexité et calcul d'une intégrale

Analyse • Intégration

Corrigé

21

Ens. Spécifique

matT_1306_01_05C

Afrique • Juin 2013

Exercice 3 • 6 points

On considère la fonction définie sur l'intervalle [2 8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

> 1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [2 8], on a :

(1 point)

> 2. a) Étudier le signe de sur l'intervalle [2 8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de sur l'intervalle [2 8]. (0,5 point)

> 3. On appelle la dérivée seconde de sur [2 8].

On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 8], on a :

.

a) Montrer que est une fonction convexe sur [4,8 8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion. (1 point)

> 4. On considère la fonction définie sur [2 8] par :

a) Montrer que est une primitive de sur [2 8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d'inflexion • Primitive.

Les conseils du correcteur

> 3. a) Étudiez le signe de

> 4. b) Utilisez la primitive de donnée à la question précédente.

> 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Notez bien

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout réel appartenant à l'intervalle [2 8] :

> 2.a) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction

Pour tout appartenant à l'intervalle [2 8], , donc a le signe de

si et seulement si .

b) Dresser le tableau de variation d'une fonction

De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [2 3,2], strictement décroissante sur [3,2 8].

a donc un maximum en

Son tableau de variation sur l'intervalle [2 8] est :


> 3.a) Montrer qu'une fonction est convexe

Pour tout appartenant à :

.

Or, si , , donc a le signe de

Si , alors , donc donc .

Puisque la dérivée seconde de est positive sur l'intervalle [4,8 8], est convexe sur l'intervalle [4,8 8].

b) Montrer qu'un point donné est un point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

.

D'après la question précédente, si , alors et, de même, .

La dérivée seconde de s'annule et change de signe en 4,8 on en déduit que le point de ( ) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion de C.

Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement :


Au point A d'abscisse 4,8, la courbe ( ) traverse sa tangente.

> 4.a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Info

La dérivée de la fonction ln est la fonction inverse et la dérivée de la fonction inverse est la fonction .

Pour tout appartenant à [2 8] :

.

Puisque pour tout appartenant à [2 8], est une primitive desur [2 8].

b) Calculer une intégrale

D'après la question précédente :

.

Notez bien

Pour tout réel strictement positif et tout entier naturel , .

Or , d'où :

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner