Analyse • Intégration
Corrigé
21
Ens. Spécifique
matT_1306_01_05C
Afrique • Juin 2013
Exercice 3 • 6 points
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [2 8] par :
.
On appelle (
(1 point)
sur l'intervalle [2 8]. (0,75 point)
sur l'intervalle [2 8]. (0,5 point)
la dérivée seconde de 
sur [2 8].
On admet que, pour tout réel 
de l'intervalle [2 8], on a :
.
est une fonction convexe sur [4,8 8]. (1 point)
définie sur [2 8] par :
est une primitive de 
sur [2 8]. (0,75 point)
(1 point)
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d'inflexion • Primitive.
Les conseils du correcteur
donnée à la question précédente.
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Notez bien
On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.
Pour tout réel 
appartenant à l'intervalle [2 8] :
> 2. a) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
Pour tout 
appartenant à l'intervalle [2 8], 
, donc 
a le signe de 
si et seulement si 
.
b) Dresser le tableau de variation d'une fonction
De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [2 3,2], strictement décroissante sur [3,2 8].
a donc un maximum en 
Son tableau de variation sur l'intervalle [2 8] est :
> 3. a) Montrer qu'une fonction est convexe
Pour tout 
appartenant à 
:
.
Or, si 
, 
, donc 
a le signe de 
Si 
, alors 
, donc 
donc 
.
Puisque la dérivée seconde de 
est positive sur l'intervalle [4,8 8], 
b) Montrer qu'un point donné est un point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction
.
D'après la question précédente, si 
, alors 
et, de même, 
.
La dérivée seconde de 
s'annule et change de signe en 4,8 on en déduit que le point de ( ) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion de
Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement :
Au point A d'abscisse 4,8, la courbe ( ) traverse sa tangente.
> 4. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Info
La dérivée de la fonction ln est la fonction inverse 
et la dérivée de la fonction inverse est la fonction 
.
Pour tout 
appartenant à [2 8] :
.
Puisque 
pour tout 
appartenant à [2 8], 
b) Calculer une intégrale
D'après la question précédente :
.
Notez bien
Pour tout réel 
strictement positif et tout entier naturel 
, 
.
Or 
, d'où :
