Étude d’une fonction, de sa convexité et calcul d’une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une fonction, de sa convexité et  calcul d’une intégrale

Analyse • Intégration

Corrigé

21

Ens. Spécifique

matT_1306_01_05C

Afrique • Juin 2013

Exercice 3 • 6 points

On considère la fonction  définie sur l’intervalle [2  8] par  :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

>1.  Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2  8], on a  :

(1 point)

>2.a)  Étudier le signe de  sur l’intervalle [2  8]. (0,75  point)

b)  En déduire le tableau de variation de  sur l’intervalle [2  8]. (0,5  point)

>3.  On appelle la dérivée seconde de sur [2  8].

On admet que, pour tout réel de l’intervalle [2  8], on a  :

.

a)  Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8  8]. (1  point)

b)  Montrer que le point de (C) d’abscisse  4,8 est un point d’inflexion. (1  point)

>4.  On considère la fonction  définie sur [2  8] par  :

a)  Montrer que  est une primitive de  sur [2  8]. (0,75  point)

b)  Calculer (1  point)

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d’inflexion • Primitive.

Les conseils du correcteur

>3.a)  Étudiez le signe de

>4.b)  Utilisez la primitive de  donnée à la question précédente.