Étude d’une fonction, de sa convexité et calcul d’une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une fonction, de sa convexité et calcul d’une intégrale

Analyse • Intégration

Corrigé

21

Ens. Spécifique

matT_1306_01_05C

Afrique • Juin 2013

Exercice 3 • 6 points

On considère la fonction  définie sur l’intervalle [2 ; 8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

>1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

(1 point)

>2.a) Étudier le signe de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,5 point)

>3. On appelle la dérivée seconde de sur [2 ; 8].

On admet que, pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

.

a) Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8 ; 8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion. (1 point)

>4. On considère la fonction  définie sur [2 ; 8] par :

a) Montrer que  est une primitive de  sur [2 ; 8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d’inflexion • Primitive.

Les conseils du correcteur

>3.a)  Étudiez le signe de

>4.b)  Utilisez la primitive de  donnée à la question précédente.

Corrigé

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Notez bien

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout réel appartenant à l’intervalle [2 ; 8] :

>2.a) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à l’intervalle [2 ; 8], , donc a le signe de

si et seulement si .

b) Dresser le tableau de variation d’une fonction

De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [2 ; 3,2], strictement décroissante sur [3,2 ; 8].

a donc un maximum en

Son tableau de variation sur l’intervalle [2 ; 8] est :


>3.a) Montrer qu’une fonction est convexe

Pour tout appartenant à  :

.

Or, si , , donc a le signe de

Si , alors , donc donc .

Puisque la dérivée seconde de est positive sur l’intervalle [4,8 ; 8], est convexe sur l’intervalle [4,8 ; 8].

b) Montrer qu’un point donné est un point d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

.

D’après la question précédente, si , alors et, de même, .

La dérivée seconde de  s’annule et change de signe en 4,8 ; on en déduit que le point de (𝒞) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion de C.

Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement :


Au point A d’abscisse 4,8, la courbe (𝒞) traverse sa tangente.

>4.a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Info

La dérivée de la fonction ln est la fonction inverse et la dérivée de la fonction inverse est la fonction .

Pour tout appartenant à [2 ; 8] :

.

Puisque pour tout appartenant à [2 ; 8], est une primitive desur [2 ; 8].

b) Calculer une intégrale

D’après la question précédente :

.

Notez bien

Pour tout réel strictement positif et tout entier naturel , .

Or , d’où :