On considère la fonction  définie sur l’intervalle [2  8] par  :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

>  1.  Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2  8], on a  :

(1 point)

>  2.  a)  Étudier le signe de  sur l’intervalle [2  8]. (0,75  point)

b)  En déduire le tableau de variation de  sur l’intervalle [2  8]. (0,5  point)

>  3.  On appelle la dérivée seconde de sur [2  8].

On admet que, pour tout réel de l’intervalle [2  8], on a  :

.

a)  Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8  8]. (1  point)

b)  Montrer que le point de (C) d’abscisse  4,8 est un point d’inflexion. (1  point)

>  4.  On considère la fonction  définie sur [2  8] par  :

a)  Montrer que  est une primitive de  sur [2  8]. (0,75  point)

b)  Calculer (1  point)