Terminale générale Mathématiques Compléments sur la dérivation

Analyse

Compléments sur les fonctions

matT_2000_00_43C

Compléments sur les fonctions

Étude d'une fonction dont la courbe représentative admet une asymptote oblique

40 min

4 points

Intérêt du sujet • L'étude des asymptotes d'une courbe représentative fait parfois apparaître des asymptotes obliques. C'est le cas dans ce sujet où, après avoir déterminé les éventuelles asymptotes verticales et horizontales d'une fonction, vous serez guidés dans la recherche de l'équation d'une asymptote oblique.

Soit f la fonction définie sur $ℝ \{2\}$ par $f (x) = \frac{x^{2} - x - 1}{x - 2}$ .

▶ 1. Étudier les variations de f sur $ℝ \{2\}$ .

▶ 2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

Qu'en déduire pour sa courbe représentative $C_{f}$ ?

▶ 3. Déterminer trois réels a, b et c tels que : $\forall x \in ℝ \{2\}, f (x) = a x + b + \frac{c}{x - 2}$ .

▶ 4. a) Déterminer $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (a x + b))$ et $\lim_{x \to - \infty} (f (x) - (a x + b))$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

b) Étudier la position de $C_{f}$ par rapport à la droite d'équation $y = a x + b$ .

▶ 5. Tracer la courbe $C_{f}$ ainsi que toutes les droites particulières dans un même repère orthogonal.

Les clés du sujet

▶ 1. Déterminez la dérivée de f et étudiez son signe.

▶ 2. Déterminez les limites de f en $- \infty, 2^{-} , 2^{+}$ et $+ \infty$ . Déduisez-en l'existence éventuelle d'asymptotes parallèles aux axes de coordonnées.

▶ 3. Réduisez au même dénominateur l'expression de $f (x)$ proposée et comparez l'expression obtenue à $\frac{x^{2} - x - 1}{x - 2}$ . On obtient alors un système d'équations dont les inconnues sont a, b et c.

▶ 4. a) Utilisez l'expression obtenue à la question précédente en remplaçant a, b et c par leurs valeurs.

b) Pour étudier la position de $C_{f}$ par rapport à la droite d'équation $y = a x + b$ , étudiez le signe de $f (x) - (a x + b)$ .

▶ 1. Étudier les variations d'une fonction

La fonction f est dérivable sur $]- \infty; 2[$ et sur $]2; + \infty[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]- \infty; 2[$ et sur $]2; + \infty[$ .

Pour tout réel $x \neq 2,$ on a :

$f^{'} (x) = \frac{(2 x - 1) (x - 2) - (x^{2} - x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Ainsi $f^{'} (x)$ est du signe du polynôme du second degré $p (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , lequel s'annule en 1 et 3.

Par conséquent, $f^{'} (x) > 0$ pour tout réel $x \in]- \infty; 1[\cup]3; + \infty[$ , et $f^{'} (x) 0$ pour tout réel $x \in]1; 2[\cup]2; 3[.$

La fonction f est donc strictement croissante sur $]- \infty; 1[$ et sur $]3; + \infty[$ , elle est strictement décroissante sur $]1; 2[$ et sur $]2; 3[$ .

▶ 2. Calculer les limites d'une fonction

Pour tout réel x $\neq$ 0 et x $\neq 2$ , $f (x) = \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} .$ La limite de $1 - \frac{2}{x}$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ est égale à 1, la limite de $x - 1 - \frac{1}{x}$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et la limite de $x - 1 - \frac{1}{x}$ en $- \infty$ est $- \infty$ .

Donc $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ et $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ .

$\lim_{x \to 2} (x^{2} - x - 1) = 1$ et $\lim_{x \to 2} (x - 2) = 0$ . Or $x - 2 > 0$ si $x > 2$ et x − 2

Ainsi $\lim_{\begin{matrix} x \to 2 \\ x 2 \end{matrix}} f (x) = - \infty$ et $\lim_{\begin{matrix} x \to 2 \\ x > 2 \end{matrix}} f (x) = + \infty$ .

La droite d'équation $x = 2$ est donc asymptote verticale à $C_{f}$ .

▶ 3. Obtenir une autre expression de f par identification

Soit x $\neq 2$ . On a :

$\begin{array}{l} f (x) = a x + b + \frac{c}{x - 2} = \frac{(a x + b) (x - 2) + c}{x - 2} = \frac{a x^{2} - 2 a x + b x - 2 b + c}{x - 2} \\ = \frac{a x^{2} + (b - 2 a) x + (- 2 b + c)}{x - 2} \end{array}$

On doit donc déterminer a, b, c tels que :

$\frac{x^{2} - x - 1}{x - 2} = \frac{a x^{2} + (b - 2 a) x + (- 2 b + c)}{x - 2}$ .

Ou encore, puisque $x \neq 2, x^{2} - x - 1 = a x^{2} + (b - 2 a) x + (- 2 b + c) .$

Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, leurs monômes de même degré sont égaux.

On obtient donc le système suivant :

$\{\begin{cases} a = 1 \\ b - 2 a = - 1 \\ - 2 b + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 + 2 a = 1 \\ c = - 1 + 2 b = 1 \end{cases}$

Ainsi $f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$ .

▶ 4. a) Interpréter une limite

Pour tout réel x $\neq 2$ , on a $f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 2}$ .

Donc $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (a x + b)) = \lim_{x \to + \infty} (f (x) - (x + 1))$ = $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x - 2} = 0$

et $\lim_{x \to - \infty} (f (x) - (a x + b))$ $= \lim_{x \to - \infty} (f (x) - (x + 1))$ = $\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x - 2} = 0$ .

La courbe $C_{f}$ se rapproche donc de la droite d'équation $y = x + 1$ lorsque x tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ .

Cette droite est une asymptote oblique à $C_{f} .$

b) Étudier la position de deux courbes

à noter

Pour étudier la position relative de deux courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ représentant deux fonctions f et g définies sur un intervalle I, on étudie le signe de $f (x) - g (x)$ sur I.

On étudie le signe de $f (x) - (x + 1),$ qui est le même que celui de $\frac{1}{x - 2}$ ou encore de $x - 2$ .

$x - 2 > 0$ $\Leftrightarrow x > 2$ et $x - 2 0\Leftrightarrowx2$

La courbe $C_{f}$ est donc au-dessous de son asymptote oblique sur $]- \infty; 2[$ et au-dessus sur $]2; + \infty[$ .

▶ 4. Tracer une courbe représentative dans un repère orthogonal

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Etude d'une fonction dont la courbe représentative admet une asymptote oblique