Intégration

matT_1606_02_03C

Ens. spécifique

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 4 • 6 points

Étude d'une fonction et application à l'étude du prix d'une action

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[3 13]$ par :

$f (x) = - 2 x + 20 - e^{- 2 x + 10}$ .

partie A. Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 1,5] par :

$f (x) = 9 x^{2} (1 - 2 \ln x) + 10$ .

La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous :

matT_1606_02_00C_02

▶ 1. a) Montrer que $f^{'} (x) = - 36 x \ln x$ , où $f^{'}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,75 point)

c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,5 point)

▶ 2. On admet que $f^{″} (x) = - 36 \ln x - 36$ , où $f^{″}$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $e^{- 1}$ . (1 point)

▶ 3. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 1,5] par :

$F (x) = 10 x + 5 x^{3} - 6 x^{3} \ln x$ .

a) Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]0 1,5]. (0,5 point)

b) Calculer l'intégrale $\int_{1}^{1,5} f (x) d x$ . On donnera le résultat arrondi au centième. (1 point)

partie B. Application Économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f (x)$ le prix de l'action en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

« Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. » (0,75 point)

Proposition 2

« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17 €. » (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction logarithme népérien • Point d'inflexion • Primitive • Intégrale, calculs d'aire

Les conseils du correcteur

Partie A

▶ 2. Utilisez l'expression de $f^{″} (x)$ pour montrer que la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion et pour trouver l'abscisse de ce point.

▶ 3. Calculez la dérivée de $F$ .

Partie B

« La période des six derniers mois » correspond aux valeurs de $x$ comprises entre 1 et 1,5.

▶ Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.

Corrigé

partie A. Étude d'une fonction

▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout $x$ de l'intervalle $] 0 1,5]$ :

$f^{'} (x) = 18 x (1 - 2 \ln x) + 9 x^{2} \times (- 2 \times \frac{1}{x}) = 18 x - 36 x \ln x - 18 x$

$f^{'} (x) = - 36 x \ln x .$

b) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction

Pour tout $x$ dans l'intervalle $] 0 1,5]$ , $x > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du signe de $- \ln x$ , donc :

si $0 x1$ , alors $\ln x 0$ , donc $f^{'} (x) > 0$ $f^{'} (1) = 0$

si $1 x\leq1,5$ , alors si $1 x\leq1,5$ , alors $\ln x > 0$ , donc $f^{'} (x) 0$ .

c) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

D'après la question précédente : $f$ est strictement croissante sur $] 0 1]$ , strictement décroissante sur $[1 1,5]$ .

▶ 2. Montrer qu'une courbe admet un point d'inflexion

Pour tout $x$ dans l'intervalle $] 0 1,5]$ :

$f^{″} (x) = - 36 \ln x - 36 = - 36 (\ln x + 1) .$

Donc $f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = - 1 \Leftrightarrow x = e^{- 1}$ .

Si $0 xe^{- 1}$ , alors $\ln x -1$ , donc $\ln x + 10$ , donc $f^{″} (x) > 0$

si $e^{- 1} x\leq1,5$ , alors $\ln x > - 1$ , donc $\ln x + 1 > 0$ , donc $f^{″} (x) 0$ .

La dérivée seconde $f^{″}$ s'annule et change de signe en $e^{- 1}$ , donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e^{- 1}$ .

▶ 3. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Pour tout $x$ dans l'intervalle $] 0 1,5]$ :

$\begin{matrix} F^{'} (x) = 10 + 5 \times 3 x^{2} - 6 \times 3 x^{2} \ln x - 6 x^{3} \times \frac{1}{x} \\ = 10 + 15 x^{2} - 18 x^{2} \ln x - 6 x^{2} \end{matrix}$

$F^{'} (x) = 10 + 9 x^{2} - 18 x^{2} \ln x = 9 x^{2} (1 - 2 \ln x) + 10 = f (x)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $] 0 1,5]$ .

b) Calculer une intégrale

$\int_{1}^{1,5} f (x) d x = {[F (x)]}_{1}^{1,5} = F (1,5) - F (1)$

$\int_{1}^{1,5} f (x) d x = 15 + 5 \times {1,5}^{3} - 6 \times {1,5}^{3} \ln (1,5) - 10 - 5$

$\int_{1}^{1,5} f (x) d x = 16,875 - 20,25 \ln (1,5) \approx 8,66 .$

partie B. Application Économique

▶ 1. Étudier l'évolution du prix d'une action sur une période donnée

Notez bien

D'après les résultats de la partie A, $f$ est strictement décroissante sur [1 1,5], donc $f (1,5) f(1)$ : le prix de l'action baisse au cours des six derniers mois.

La « période des six derniers mois » débute un an après l'introduction en bourse de la société, et s'achève au moment de l'étude, c'est-à-dire un an et demi après l'introduction en bourse.

Le prix en euros d'une action un an après l'introduction en bourse est $f (1)$ un an et demi après l'introduction en bourse, il est égal à $f (1,5)$ .

$f (1) = 9 + 10 = 19 f (1,5) = 9 \times {1,5}^{2} (1 - 2 \ln (1,5)) + 10 \approx 13,83 .$

Au cours des six derniers mois, la baisse, en euros, du prix de l'action est donc environ $19 - 13,83$ ≈ 5,17.

L'action valant initialement (au début de la période considérée) 19 €, le quart de sa valeur est, en euros :

$\frac{19}{4} = 4,75 5,17$ .

La proposition 1 est donc vraie au cours des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur.

▶ 2. Calculer la valeur moyenne d'une action sur une période donnée

La valeur moyenne, en euros, de l'action sur la période des six derniers mois est :

$m = \frac{1}{1,5 - 1} \int_{1}^{1,5} f (x) d x = \frac{1}{0,5} \int_{1}^{1,5} f (x) d x .$

D'après la question 3. b) de la partie A :

$m = \frac{1}{0,5} \int_{1}^{1,5} f (x) d x \approx \frac{8,66}{0,5} \approx 17,33 .$

La proposition 2 est donc fausse sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été supérieure à 17 €.

Étude d'une fonction et application à l'étude du prix d'une action

partie A. Étude d'une fonction

partie B. Application Économique

Les thèmes en jeu

Les conseils du correcteur

Partie A

Partie B

partie A. Étude d'une fonction

▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

b) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction

c) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

▶ 2. Montrer qu'une courbe admet un point d'inflexion

▶ 3. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

b) Calculer une intégrale

partie B. Application Économique

▶ 1. Étudier l'évolution du prix d'une action sur une période donnée

▶ 2. Calculer la valeur moyenne d'une action sur une période donnée

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