Corrigé

partie A. Étude d’une fonction

▶ 1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x de l’intervalle ]0;1,5] :

f′(x)=18x(1−2lnx)+9x2×(−2×1x)=18x−36xlnx−18x

f′(x)=−36xlnx.

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

Pour tout x dans l’intervalle ]0;1,5], x>0, donc f′(x) est du signe de –lnx, donc :

si 0<x<1, alors lnx<0, donc f′(x)>0 ; f′(1)=0 ;

si 1<x≤1,5, alors si 1<x≤1,5, alors lnx>0, donc f′(x)<0.

c) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente : f est strictement croissante sur ]0;1], strictement décroissante sur [1;1,5].

▶ 2. Montrer qu’une courbe admet un point d’inflexion

Pour tout x dans l’intervalle ]0;1,5] :

f″(x)=−36lnx−36=−36(lnx+1).

Donc f″(x)=0⇔lnx=−1⇔x=e−1.

Si 0<x<e−1, alors lnx<−1, donc lnx+1<0, donc f″(x)>0 ;

si e−1<x≤1,5, alors lnx>−1, donc lnx+1>0, donc f″(x)<0.

La dérivée seconde f″ s’annule et change de signe en e−1, donc la courbe représentative de f admet un point d’inflexion d’abscisse e−1.

▶ 3. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout x dans l’intervalle ]0;1,5] :

F′(x)=10+5×3x2−6×3x2lnx−6x3×1x=10+15x2−18x2lnx−6x2

F′(x)=10+9x2−18x2lnx=9x2(1−2lnx)+10=f(x)

Donc F est une primitive de f sur l’intervalle ]0;1,5].

b) Calculer une intégrale

∫11,5f(x) dx=[F(x)]11,5=F(1,5)−F(1)

∫11,5f(x) dx=15+5×1,53−6×1,53ln(1,5)−10−5

∫11,5f(x) dx=16,875−20,25ln(1,5)≈8,66.

partie B. Application Économique

▶ 1. Étudier l’évolution du prix d’une action sur une période donnée

La « période des six derniers mois » débute un an après l’introduction en bourse de la société, et s’achève au moment de l’étude, c’est-à-dire un an et demi après l’introduction en bourse.

Le prix en euros d’une action un an après l’introduction en bourse est f(1) ; un an et demi après l’introduction en bourse, il est égal à f(1,5).

f(1)=9+10=19;f(1,5)=9×1,52(1−2ln(1,5))+10≈13,83.

Au cours des six derniers mois, la baisse, en euros, du prix de l’action est donc environ 19−13,83≈ 5,17.

L’action valant initialement (au début de la période considérée) 19 €, le quart de sa valeur est, en euros :

194=4,75<5,17.

La proposition 1 est donc vraie ; au cours des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur.

▶ 2. Calculer la valeur moyenne d’une action sur une période donnée

La valeur moyenne, en euros, de l’action sur la période des six derniers mois est :

m=11,5−1∫11,5f(x)dx=10,5∫11,5f(x)dx.

D’après la question 3. b) de la partie A :

m=10,5∫11,5f(x)dx≈8,660,5≈17,33.

La proposition 2 est donc fausse ; sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été supérieure à 17 €.