Intégration
matT_1606_02_03C
Ens. spécifique
18
Amérique du Nord • Juin 2016
Exercice 4 • 6 points
Étude d'une fonction et application à l'étude du prix d'une action
Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
.
partie A. Étude d'une fonction
On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0 1,5] par :
.
La courbe représentative de est donnée ci-dessous :
▶ 1. a) Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,75 point)
b) Étudier le signe de sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,75 point)
c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction sur l'intervalle ]0 1,5]. (0,5 point)
▶ 2. On admet que , où désigne la dérivée seconde de la fonction sur l'intervalle ]0 1,5].
Montrer que la courbe représentative de la fonction admet un point d'inflexion dont l'abscisse est . (1 point)
▶ 3. Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 1,5] par :
.
a) Montrer que est une primitive de sur ]0 1,5]. (0,5 point)
b) Calculer l'intégrale . On donnera le résultat arrondi au centième. (1 point)
partie B. Application Économique
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction définie dans la partie A, où représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et le prix de l'action en euros.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Proposition 1
« Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. » (0,75 point)
Proposition 2
« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17 €. » (0,75 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 55 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction logarithme népérien • Point d'inflexion • Primitive • Intégrale, calculs d'aire
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 2. Utilisez l'expression de pour montrer que la courbe représentative de admet un point d'inflexion et pour trouver l'abscisse de ce point.
▶ 3. Calculez la dérivée de .
Partie B
« La période des six derniers mois » correspond aux valeurs de comprises entre 1 et 1,5.
▶ Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.
Corrigé
partie A. Étude d'une fonction
▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout de l'intervalle :
b) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
Pour tout dans l'intervalle , , donc est du signe de , donc :
si , alors , donc
si , alors si , alors , donc .
c) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
D'après la question précédente : est strictement croissante sur , strictement décroissante sur .
▶ 2. Montrer qu'une courbe admet un point d'inflexion
Pour tout dans l'intervalle :
Donc .
Si , alors , donc , donc
si , alors , donc , donc .
La dérivée seconde s'annule et change de signe en , donc la courbe représentative de admet un point d'inflexion d'abscisse .
▶ 3. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout dans l'intervalle :
Donc est une primitive de sur l'intervalle .
b) Calculer une intégrale
partie B. Application Économique
▶ 1. Étudier l'évolution du prix d'une action sur une période donnée
Notez bien
D'après les résultats de la partie A, est strictement décroissante sur [1 1,5], donc : le prix de l'action baisse au cours des six derniers mois.
La « période des six derniers mois » débute un an après l'introduction en bourse de la société, et s'achève au moment de l'étude, c'est-à-dire un an et demi après l'introduction en bourse.
Le prix en euros d'une action un an après l'introduction en bourse est un an et demi après l'introduction en bourse, il est égal à .
Au cours des six derniers mois, la baisse, en euros, du prix de l'action est donc environ ≈ 5,17.
L'action valant initialement (au début de la période considérée) 19 €, le quart de sa valeur est, en euros :
.
La proposition 1 est donc vraie au cours des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur.
▶ 2. Calculer la valeur moyenne d'une action sur une période donnée
La valeur moyenne, en euros, de l'action sur la période des six derniers mois est :
D'après la question 3. b) de la partie A :
La proposition 2 est donc fausse sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été supérieure à 17 €.