Étude d’une fonction et application à l’étude du prix d’une action

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 4 • 6 points

Étude d’une fonction et application à l’étude du prix d’une action

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [313] par :

f(x)=2x+20e2x+10.

partie A. Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0  1,5] par :

f(x)=9x2(12lnx)+10.

La courbe représentative de f est donnée ci-dessous :

matT_1606_02_00C_02

1. a) Montrer que f(x)=36xlnx, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0  1,5]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle ]0  1,5]. (0,75 point)

c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0  1,5]. (0,5 point)

2. On admet que f(x)=36lnx36, où f désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l’intervalle ]0  1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d’inflexion dont l’abscisse est e1. (1 point)

3. Soit F la fonction définie sur l’intervalle ]0  1,5] par :

F(x)=10x+5x36x3lnx.

a) Montrer que F est une primitive de f sur ]0  1,5]. (0,5 point)

b) Calculer l’intégrale 11,5f(x)dx. On donnera le résultat arrondi au centième. (1 point)

partie B. Application Économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse et f(x) le prix de l’action en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. » (0,75 point)

Proposition 2

« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17 €. » (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction logarithme népérien • Point d’inflexion • Primitive • Intégrale, calculs d’aire

Les conseils du correcteur

Partie A

2. Utilisez l’expression de f(x) pour montrer que la courbe représentative de f admet un point d’inflexion et pour trouver l’abscisse de ce point.

3. Calculez la dérivée de F.

Partie B

« La période des six derniers mois » correspond aux valeurs de x comprises entre 1 et 1,5.

Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.

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