Étude d’une fonction et bénéfice d’une entreprise

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 2 • 6 points

Étude d’une fonction et bénéfice d’une entreprise

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

C(x)=0,3x2x+ex+5

x désigne la quantité de granulés en tonnes et C(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

Dans l’entreprise BBE, le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction R définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

R(x)=3x

x désigne la quantité de granulés en tonnes et R(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

On définit par D(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C(x), où x désigne la quantité de granulés en tonnes.

partie a. étude graphique

Sur le graphique donné ci-dessous, on donne C et Δ les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal. (0,5 point)

2. a) Déterminer les valeurs de C(6) et R(6), puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus. (0,5 point)

b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice. (0,5 point)

matT_1604_12_00C_02

partie b. étude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

g(x)=0,6x+4+ex+5.

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g sa fonction dérivée.

1. a) Calculer g(x) pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15]. (0,5 point)

b) En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,25 point)

2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction gsur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs g(1) et g(15) arrondies à l’unité. (0,5 point)

b) Le tableau de variations permet d’affirmer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 15].

Donner une valeur approchée de α à 0,1 près. (0,5 point)

c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de g(x) sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,25 point)

partie c. application économique

1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a :

D(x)=0,3x2+4xex+5. (0,5 point)

2. On admet que la fonction D est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a :

D(x)=g(x)

g est la fonction étudiée dans la partie B. (0,5 point)

3. En déduire les variations de la fonction D sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,5 point)

4. a) Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. (0,5 point)

b) Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

2. b) L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure aux coûts de production ; utilisez la position relative des courbes C et Δ.

Partie B

1. b) Étudiez le signe de g(x).

2. b) Déterminez deux réels a et b tels que a<b, ba0,1 et g(a) et g(b) sont de signes contraires.

Partie C

3. Utilisez le résultat de la question 2. c) de la partie B.

Corrigé

Corrigé

partie a. étude graphique

1. Déterminer graphiquement la production pour laquelle le coût est minimal

Par lecture graphique, on observe que le point de C d’ordonnée minimale a pour abscisse environ 4,5.

Donc la production pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal est environ 4,5 tonnes.

2. a) Déterminer graphiquement le résultat net pour une production donnée

Par lecture graphique C(6)5 et R(6)18.

Donc D(6)13.

Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus est d’environ 1 300 euros.

b) Déterminer graphiquement les productions assurant un bénéfice

Notez bien

Les courbes C et Δ ont deux points d’intersection dont les abscisses sont environ 2,8 et 13,3.

L’entreprise dégage un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice, pour x tonnes de granulés produits et vendus si et seulement si R(x)>C(x), c’est-à-dire si et seulement si le point de Δ d’abscisse x est au-dessus du point de C d’abscisse x. Par lecture graphique, on observe que c’est le cas si et seulement si 2,8<x<13,3 environ.

L’entreprise dégage un bénéfice si elle produit et vend quotidiennement entre 2,8 et 13,3 tonnes de granulés.

partie b. étude d’une fonction

1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Notez bien

On applique la formule (eu)=ueu avec :

u(x)=x+5.

Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [1 ; 15] :

g(x)=0,6+(1)×ex+5

g(x)=0,6ex+5.

b) Montrer qu’une fonction est décroissante sur un intervalle

La fonction exponentielle est strictement positive sur , donc, pour tout x appartenant à [1 ; 15], ex+5>0, donc ex+5<0, donc :

0,6ex+5<0 et g(x)<0.

Donc la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].

2. a) Dresser le tableau de variations d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente, le tableau de variations de la fonction gsur l’intervalle [1 ; 15] est :

matT_1604_12_00C_tab2

En arrondissant à l’unité :

g(1)58;g(15)5.

b) Donner une valeur approchée d’une solution d’une équation

Info

D’après le tableau de variation dressé à la question précédente, la fonction g est continue et strictement monotone sur [1 ; 15] ; de plus, g(1)>0 et g(15)<0. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle.

g(6)0,77 et g(7)0,06 ; g(7)<0<g(6), donc 6<α<7.

g(6,9)9,6×103 et g(7)0,06 ; g(7)<0<g(6,9), donc 6,9<α<7.

6,9 est une valeur approchée de α à 0,1 près.

c) Déterminer le tableau de signes d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

si 1x<α, alors g(x)>0 ;

g(α)=0 ;

si α<x15, alors g(x)<0.

Le tableau de signes de g(x) sur l’intervalle [1 ; 15] est donc :

x

1

 

α

 

15

Signe de g(x)

 

+

0

 

partie C. application économique

1. Déterminer l’expression d’une fonction

Pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15] :

D(x)=R(x)C(x)

D(x)=3x(0,3x2x+ex+5)

D(x)=3x0,3x2+xex+5.

2. Calculer la dérivée d’une fonction

D’après l’expression de D(x) déterminée à la question précédente, pour tout x appartenant à [1 ; 15] :

D(x)=0,3×2x+41ex+5=0,6x+4+ex+5

D(x)=g(x).

3. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Le signe de D(x) est celui de g(x), étudié à la question 2. c) de la partie B.

Donc D est croissante sur [1;α] et décroissante sur [α;15].

4. a) Déterminer la production rendant maximal le bénéfice

D’après la question précédente, D atteint son maximum en α avec α6,9 à 0,1 près.

Donc l’entreprise rend son bénéfice maximal pour environ 6,9 tonnes de granulés produites et vendues.

b) Calculer le maximum d’une fonction

Le maximum de D est D(α), et D(α)D(6,9)13,17.

Le bénéfice maximal de l’entreprise est environ 1 317 euros à l’euro près.