Annale corrigée Exercice Ancien programme

Etude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Étude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Primitive.

 

On définit une fonction g sur l'intervalle [0,5  5] par :

g(x)=5x3xlnx.

1. Montrer que pour x appartenant à [0,5  5], g(x)=23lnx. (1 point)

2. Étudier le signe de g(x) et en déduire le sens de variation de g sur [0,5  5]. (1 point)

3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)

4. Montrer que l'équation g(x)=4 admet deux solutions sur [0,5  5] que l'on note α1 et α2. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. (1 point)

5. Résoudre g(x)4. (1 point)

6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5  5] par :

G(x)=32x2lnx+134x2

est une primitive de g sur [0,5  5]. (0,75 point)

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5  5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

5. Utilisez les résultats des questions antérieures.

6. G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

7. Utilisez la fonction G de la question précédente.

Corrigé

1. Calculer la dérivée d'une fonction

La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0,5  5], et pour tout x dans cet intervalle :

g(x)=53lnx3x×1x

g(x)=53lnx3

g(x)=23lnx

2. Étudier les variations d'une fonction

g(x)=0lnx=23x=e23 

0,5xe23lnx2323lnx>0g(x)>0 

e23x5lnx>2323lnx0g(x)0.

La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [0,5e23], strictement décroissante sur l'intervalle [e235].

3. Déterminer pour quelle valeur une fonction atteint un maximum

D'après la question précédente, la fonction g atteint un maximum en e23.

À la calculatrice, e231,95 en arrondissant au centième.

La fonction g atteint son maximum en x0=1,95 (valeur arrondie au centième).

4. Montrer qu'une équation admet deux solutions

On peut dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle [0,5  5] :

005_matT_1609_07_00C_tab2

g(e23)=3 e235,84>4g(0,5)3,544g(5)0,864.

L'équation g(x)=4 admet donc une unique solution sur chacun des intervalles [0,5e23] et [e235]. On note α1 celle qui appartient à [0,5e23] et α2 celle qui appartient à [e235].

L'équation g(x)=4 admet deux solutions α1 et α2 sur [0,5  5].

g(0,6)3,924 et g(0,7)4,25>4, donc 0,6 α1 0,7 

g(0,62)3,994 et g(0,63)4,02>4, donc :

0,62α10,63

g(3,6)4,17>4 et g(3,7)3,984, donc 3,6 α2 3,7 

g(3,68)4,016>4 et g(3,69)3,9974, donc :

3,68α23,69

5. Résoudre une inéquation

D'après le tableau de variations établi à la question précédente, g(x)4 si et seulement si α1  x  α2.

L'ensemble des solutions de l'inéquation g(x)4 est [α1α2].

6. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

La fonction G est dérivable sur [0,5  5] et, pour tout x dans cet intervalle :

G(x)=32×2xlnx32x2×1x+134×2x 

G(x)=3xlnx32x+132x

G(x)=3xlnx+5x

G(x)=g(x)

G est une primitive de g sur [0,5  5].

7. Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5  5] est :

m=150,5 0,55g(x) dx.

Puisque G est une primitive de g sur [0,5  5] :

m=14,5 [G(5)G(0,5)]

m=14,5[32×25ln5+134×25+32×0,25ln(0,5)134×0,25]

m=14,5[752ln5+32540,375ln21316]

m=14,5[12871637,5ln50,375ln2]

soit, en arrondissant au millième :

m4,405

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