Fonction logarithme népérien

Ens. spécifique

matT_1609_07_05C

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 4 • 6 points • ⏱ 50 min

Étude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Primitive.

On définit une fonction g sur l'intervalle [0,5 5] par :

$g (x) = 5 x - 3 x \ln x .$

▶ 1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 5], $g^{'} (x) = 2 - 3 \ln x$ . (1 point)

▶ 2. Étudier le signe de $g^{'} (x)$ et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 5]. (1 point)

▶ 3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)

▶ 4. Montrer que l'équation $g (x) = 4$ admet deux solutions sur [0,5 5] que l'on note α1 et α2. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. (1 point)

▶ 5. Résoudre $g (x) \geq 4$ . (1 point)

▶ 6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 5] par :

$G (x) = - \frac{3}{2} x^{2} \ln x + \frac{13}{4} x^{2}$

est une primitive de g sur [0,5 5]. (0,75 point)

▶ 7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5 5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

▶ 5. Utilisez les résultats des questions antérieures.

▶ 6. G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

▶ 7. Utilisez la fonction G de la question précédente.

Corrigé

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction

La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0,5 5], et pour tout x dans cet intervalle :

$g^{'} (x) = 5 - 3 \ln x - 3 x \times \frac{1}{x}$

$g^{'} (x) = 5 - 3 \ln x - 3$

$g^{'} (x) = 2 - 3 \ln x$

▶ 2. Étudier les variations d'une fonction

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = e^{\frac{2}{3}}$

$0,5 \leq x e^{\frac{2}{3}}\Rightarrow\lnx\frac{2}{3}\Rightarrow2-3\lnx>0\Rightarrowg^{'}(x)>0$

$e^{\frac{2}{3}} x\leq5\Rightarrow\lnx>\frac{2}{3}\Rightarrow2-3\lnx0\Rightarrowg^{'}(x)0$ .

La fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0,5 e^{\frac{2}{3}}]$ , strictement décroissante sur l'intervalle $[e^{\frac{2}{3}} 5]$ .

▶ 3. Déterminer pour quelle valeur une fonction atteint un maximum

D'après la question précédente, la fonction g atteint un maximum en $e^{\frac{2}{3}}$ .

À la calculatrice, $e^{\frac{2}{3}} \approx 1,95$ en arrondissant au centième.

La fonction $g$ atteint son maximum en $x_{0} = 1,95$ (valeur arrondie au centième).

▶ 4. Montrer qu'une équation admet deux solutions

On peut dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle [0,5 5] :

005_matT_1609_07_00C_tab2

$g (e^{\frac{2}{3}}) = {3 e}^{\frac{2}{3}} \approx 5,84 > 4 g (0,5) \approx 3,54 4g(5)\approx0,864.$

L'équation $g (x) = 4$ admet donc une unique solution sur chacun des intervalles $[0,5 e^{\frac{2}{3}}]$ et $[e^{\frac{2}{3}} 5] .$ On note α1 celle qui appartient à $[0,5 e^{\frac{2}{3}}]$ et α2 celle qui appartient à $[e^{\frac{2}{3}} 5] .$

L'équation $g (x) = 4$ admet deux solutions $α_{1}$ et $α_{2}$ sur [0,5 5].

$g (0,6) \approx 3,92 4 etg(0,7)\approx4,25>4$ , donc 0,6 α1 0,7

$g (0,62) \approx 3,99 4 etg(0,63)\approx4,02>4$ , donc :

$0,62 α_{1}0,63$

$g (3,6) \approx 4,17 > 4 et g (3,7) \approx 3,98 4$ , donc 3,6 α2 3,7

$g (3,68) \approx 4,016 > 4 et g (3,69) \approx 3,997 4$ , donc :

$3,68 α_{2}3,69$

▶ 5. Résoudre une inéquation

D'après le tableau de variations établi à la question précédente, $g (x) \geq 4$ si et seulement si α1 ≤ x ≤ α2.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $g (x) \leq 4$ est $[α_{1} α_{2}]$ .

▶ 6. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

La fonction G est dérivable sur [0,5 5] et, pour tout x dans cet intervalle :

$G^{'} (x) = - \frac{3}{2} \times 2 x \ln x - \frac{3}{2} x^{2} \times \frac{1}{x} + \frac{13}{4} \times 2 x$

$G^{'} (x) = - 3 x \ln x - \frac{3}{2} x + \frac{13}{2} x$

$G^{'} (x) = - 3 x \ln x + 5 x$

$G^{'} (x) = g (x)$

$G$ est une primitive de $g$ sur [0,5 5].

▶ 7. Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5 5] est :

$m = \frac{1}{5 - 0,5} \int_{0,5}^{5} g (x) d x$ .

Puisque G est une primitive de g sur [0,5 5] :

$m = \frac{1}{4,5} [G (5) - G (0,5)]$

$m = \frac{1}{4,5} [- \frac{3}{2} \times 25 \ln 5 + \frac{13}{4} \times 25 + \frac{3}{2} \times 0,25 \ln (0,5) - \frac{13}{4} \times 0,25]$

$m = \frac{1}{4,5} [- \frac{75}{2} \ln 5 + \frac{325}{4} - 0,375 \ln 2 - \frac{13}{16}]$

$m = \frac{1}{4,5} [\frac{1 287}{16} - 37,5 \ln 5 - 0,375 \ln 2]$

soit, en arrondissant au millième :

$m \approx 4,405$

Etude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

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▶ 3. Déterminer pour quelle valeur une fonction atteint un maximum

▶ 4. Montrer qu'une équation admet deux solutions

▶ 5. Résoudre une inéquation

▶ 6. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

▶ 7. Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

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