Etude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Étude d’une fonction et calcul d’une valeur moyenne

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Primitive.

 

On définit une fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] par :

g(x)=5x3xlnx.

1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], g(x)=23lnx. (1 point)

2. Étudier le signe de g(x) et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 ; 5]. (1 point)

3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)

4. Montrer que l’équation g(x)=4 admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’on note α1 et α2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01. (1 point)

5. Résoudre g(x)4. (1 point)

6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 ; 5] par :

G(x)=32x2lnx+134x2

est une primitive de g sur [0,5 ; 5]. (0,75 point)

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

5. Utilisez les résultats des questions antérieures.

6. G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

7. Utilisez la fonction G de la question précédente.