Fonction logarithme népérien
Ens. spécifique
matT_1609_07_05C
18
France métropolitaine • Septembre 2016
Exercice 4 • 6 points • ⏱ 50 min
Étude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Primitive.
On définit une fonction g sur l'intervalle [0,5 5] par :
▶ 1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 5], . (1 point)
▶ 2. Étudier le signe de et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 5]. (1 point)
▶ 3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)
▶ 4. Montrer que l'équation admet deux solutions sur [0,5 5] que l'on note α1 et α2. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. (1 point)
▶ 5. Résoudre . (1 point)
▶ 6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 5] par :
est une primitive de g sur [0,5 5]. (0,75 point)
▶ 7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5 5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)
Les clés du sujet
▶ 5. Utilisez les résultats des questions antérieures.
▶ 6. G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.
▶ 7. Utilisez la fonction G de la question précédente.
Corrigé
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0,5 5], et pour tout x dans cet intervalle :
▶ 2. Étudier les variations d'une fonction
.
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle , strictement décroissante sur l'intervalle .
▶ 3. Déterminer pour quelle valeur une fonction atteint un maximum
D'après la question précédente, la fonction g atteint un maximum en .
À la calculatrice, en arrondissant au centième.
La fonction atteint son maximum en (valeur arrondie au centième).
▶ 4. Montrer qu'une équation admet deux solutions
On peut dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle [0,5 5] :
L'équation admet donc une unique solution sur chacun des intervalles et On note α1 celle qui appartient à et α2 celle qui appartient à
L'équation admet deux solutions et sur [0,5 5].
, donc 0,6 α1 0,7
, donc :
, donc 3,6 α2 3,7
, donc :
▶ 5. Résoudre une inéquation
D'après le tableau de variations établi à la question précédente, si et seulement si α1 ≤ x ≤ α2.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
▶ 6. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
La fonction G est dérivable sur [0,5 5] et, pour tout x dans cet intervalle :
est une primitive de sur [0,5 5].
▶ 7. Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0,5 5] est :
.
Puisque G est une primitive de g sur [0,5 5] :
soit, en arrondissant au millième :