Etude d'une fonction et calcul d'une valeur moyenne

On définit une fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] par :

$g(x)=5x-3x\ln x.$

▶ 1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], $g^{\prime }(x)=2-3\ln x$. (1 point)

▶ 2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 ; 5]. (1 point)

▶ 3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)

▶ 4. Montrer que l’équation $g(x)=4$ admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’on note α1 et α2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01. (1 point)

▶ 5. Résoudre $g(x)\ge 4$. (1 point)

▶ 6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 ; 5] par :

$G(x)=-\frac{3}{2}{x}^2\ln x+\frac{13}{4}{x}^2$

est une primitive de g sur [0,5 ; 5]. (0,75 point)

▶ 7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)