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Étude d'une fonction et réchauffement climatique

Liban • Juin 2017

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Étude d'une fonction et réchauffement climatique

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Convexité.

 

Les deux parties sont liées.

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0  10] par :

f(x)=10,5+100 ex.

On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0  10].

1. Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [0  10], on a :

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2. (0,5 point)

On note f la fonction dérivée seconde de f sur l'intervalle [0  10].

Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de f(x) :

f(x)=100 ex(100 ex0,5)(0,5+100 ex)3.

2. a) Montrer que, dans l'intervalle [0  10], l'inéquation 100 ex0,50 est équivalente à l'inéquation xln(0,005). (0,5 point)

b) En déduire le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle [0   10]. (0,5 point)

3. On appelle Cf la courbe représentative de f tracée dans un repère.

Montrer, à l'aide de la question 2., que la courbe Cf admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse. (0,5 point)

4. En utilisant les résultats de la question 2., déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave. (0,5 point)

partie b

Dans toute cette partie, les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.

Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 °C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction f de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.

La courbe représentative Cf de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.

Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l'année 1925 correspond à 1.

Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

matT_1706_09_00C_04

1. a) Calculer f(10), en arrondissant le résultat au centième. (0,5 point)

b) En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté. (0,5 point)

2. a) En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe Cf. Arrondir le résultat à l'unité. (0,5 point)

b) Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900. (0,5 point)

3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction f.

a) Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse. (0,5 point)

b) Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse. (0,5 point)

4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 °C la température de l'année 1900.

Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Utilisez le lien entre la fonction exponentielle et la fonction ln.

Partie B

3. Ne confondez pas température terrestre et vitesse du réchauffement climatique  la première est modélisée par la fonction f, la deuxième par la fonction f.

Corrigé

partie a

1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x de l'intervalle [0  10] :

f(x)=100×( ex)(0,5+100 ex)2

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2

2. a) Montrer l'équivalence de deux inéquations

100 ex0,50 équivaut successivement à :

100 ex0,5

ex0,005

xln(0,005)

xln(0,005).

100 ex0,50xln(0,005)

b) Étudier le signe de la dérivée seconde d'une fonction

Pour tout réel x de l'intervalle [0  10], 100 ex>0 et (0,5+100 ex)3>0, donc f(x) a le signe de 100 ex0,5.

D'après la question précédente, on peut dresser le tableau de signes suivant :

x

0

 

ln(0,005)

 

10

Signe de f(x)

 

+

0

-

 

3. Déterminer un point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

D'après le tableau dressé à la question précédente, f s'annule et change de signe en ln(0,005).

Donc Cf admet un point d'inflexion d'abscisse ln(0,005).

4. Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

La fonction f est concave sur tout intervalle où sa dérivée seconde est négative, donc d'après la question précédente, f est concave sur [ln(0,005)10].

partie b

1. a) Calculer l'image d'un nombre par une fonction

f(10)=10,5+100 e10.

En arrondissant le résultat au centième :

f(10)1,98

b) Interpréter un résultat numérique

2150 = 1900 + 25 × 10, donc 2150 est l'année de rang 10 et f(10) est le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900. Pour tout x dans l'intervalle [0  10] :

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2

donc f(x)>0. f est strictement croissante sur [0  10].

Pour tout x dans cet intervalle, f(0)f(x)f(10)2, donc d'ici 2150, la température terrestre ne devrait pas dépasser de plus de 2 &deg C la température de l'année 1900.

En 2150, avec le modèle considéré, l'objectif de l'accord de Paris devrait être respecté.

2. a) Donner une interprétation concrète de l'abscisse d'un point

D'après la question 3 de la partie A, le point d'inflexion I de la courbe Cf a pour abscisse ln(0,005).

L'année correspondante est 1900+25×(ln(0,005))2032.

En arrondissant à l'unité, l'année associée à l'abscisse du point d'inflexion I de Cf est 2032.

b) Calculer et interpréter l'image d'un nombre par une fonction

f(ln(0,005))=10,5+100 eln(0,005)=1.

Pour l'année correspondant au point d'inflexion I de la courbe Cf, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900 est de 1 &deg C.

3. a) Étudier, à partir d'une modélisation, le sens de variation d'une température

f est strictement croissante sur [0  10], donc la température terrestre augmente de 1900 à 2150.

Selon le modèle considéré, il est faux de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera.

b) Étudier à partir d'une modélisation le sens de variation de la vitesse du réchauffement climatique

D'après la question 2. b) de la partie A, f est négative sur [ln(0,005)10], donc f est décroissante sur cet intervalle.

f modélise la vitesse du réchauffement climatique et, d'après la question 2. b), ln(0,005) correspond à l'année 2032.

Selon le modèle considéré, on peut donc dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera.

4. Déterminer le nombre en lequel une fonction atteint une valeur donnée

Pour déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre devrait atteindre le seuil de plus de 1,5 &deg C au-dessus de la température de l'année 1900, on résout f(x)=1,5.

Cette équation équivaut successivement à :

10,5+100 ex=1,5

ex=1100(11,50,5)

x=ln[1100(11,50,5)]

x 6,397.

6,397 × 25 = 159,925 et 1 900 + 159,925 = 2 059,925.

C'est donc vers la fin de l'année 2059 que la température terrestre devrait pour la première fois atteindre le seuil de plus de 1,5 &deg C au-dessus de la température de l'année 1900.

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