Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1306_07_08C
France métropolitaine • Juin 2013
Exercice 2 • 7 points
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction f défi nie et dérivable sur l'intervalle ]0

On dispose des informations suivantes :
- les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 0), (1 2) et (0 2)
- la courbe passe par le point B et la droite (BC) est tangente à en B
- il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,
.
Déterminer l'entier n tel que n
> 1. a) Déterminer graphiquement une image et un nombre dérivé
b) Déterminer une dérivée
- La fonction
est définie et dérivable sur
et sa dérivée u′ est définie pour tout nombre réel x strictement positif par :
c) Résoudre un système de deux équations
> 2. a) Étudier le signe d'une fonction
Pour tout nombre réel strictement positif,
Comme et
, pour tout nombre réel
strictement positif,
a le même signe que
.
b) Déterminer des limites
Remarque : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de
Comme pour tout nombre réel ,
,
Remarque : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe .
c) Dresser le tableau de variations d'une fonction
Soit un nombre réel strictement positif.
D'après la question a le même signe que
qui s'annule en
Pour tout ,
et donc
Comme sur
, la fonction
est strictement décroissante sur [1
Pour tout ,
et donc
Comme sur ]0 1[
, la fonction
est strictement croissante sur ]0 1].
Ce qui se résume par le tableau de variations suivant :

> 3. a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution
D'après le tableau de variations, la fonction f est continue et strictement croissante sur
De plus, et
, et nous constatons que 1 ∈ ] – ∞ 2[. L'équation
admet donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution dans l'intervalle
b) Donner un encadrement d'une solution d'une équation
En traçant la droite d'équation sur le graphique de l'énoncé, nous pouvons conjecturer que 5
serait égal à 5.
> 4. a) Exécuter un algorithme pas à pas
- Étape 1. a
= 0 et b= 1
Comme alors
prend la valeur 0,5.
- Étape 2. a
= 0 et b= 0,5
- Étape 3. a
= 0,25 et b= 0,5
- Étape 4. a
= 0,375 et b= 0,5
- Étape 5. a
= 0,4375 et b= 0,5
La condition de la boucle « Tant que » n'est pas vérifiée. La phase de traitement étant terminée, l'algorithme affiche les valeurs de et de
| Étape 1 | Étape 2 | Étape 3 | Étape 4 | Étape 5 |
---|---|---|---|---|---|
a | 0 | 0 | 0,25 | 0,375 | 0,4375 |
b | 1 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
b– a | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 |
m | 0,5 | 0,25 | 0,375 | 0,4375 | STOP |