Étude d’une fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une fonction logarithme népérien
 
 

Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1305_02_08C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 + ∞[ par et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous :


 

>1.a)  Étudier la limite de f en 0.

b) Que vaut  ? En déduire la limite de la fonction f en + ∞.

c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.

>2.a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0  + ∞[.

Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 + ∞[, .

b) Résoudre sur l’intervalle ]0 + ∞[ l’inéquation − 1 − 2ln(x) > 0.

En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle ]0 + ∞[.

c) Dresser le tableau des variations de la fonction f.

>3.a)  Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

b) En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 + ∞[.

>4. Pour tout entier n  1, on note In l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives et .

a) Démontrer que .

On admet que la fonction F, définie sur l’intervalle ]0 + ∞[ par , est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0   + ∞[.

b) Calculer In en fonction de n.

c) Étudier la limite de In en + ∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d • E9c  → 1. a), 1. b), 1. c) et 4. c)
  • Fonction logarithme népérien  E9 1., 2. a), 2. b), 3. a) et 4. b)
  • Fonction exponentielle  E8b • E8e  → 2. b) et 3. a)
  • Dérivation  E6cE6e • E6f  → 2. a), 2. c) et 3. b)
  • Intégration  E13 • E15c  → 4. a) et 4. b)

Nos coups de pouce

>2. a) Prenez en compte que la fonction à dériver est une fonction quotient.

>4. a) Remarquez à l’aide du tableau de variations que et à l’aide du tableau de signes que sur l’intervalle considéré. Puis utilisez les propriétés de l’intégrale pour des fonctions continues.

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