Étude d’une fonction logarithme népérien

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Fonction logarithme népérien

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1306_07_08C

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 2 • 7 points

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé , la courbe représentative 𝒞 d’une fonction f déﬁnie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

On dispose des informations suivantes :

les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2) et (0 ; 2) ;
la courbe 𝒞 passe par le point B et la droite (BC) est tangente à 𝒞 en B ;
il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,

> 1. a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f ′(1).

b) Vériﬁer que pour tout réel strictement positif x,

c) En déduire les réels a et b.

> 2. a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; + ∞[, f′(x) a le même signe que − ln x.

b) Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞. On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif, .

c) En déduire le tableau de variations de la fonction f.

> 3. a) Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur l’intervalle ]0 ; 1].

b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel β de l’intervalle ]1 ; + ∞[ tel que f (β) = 1.

Déterminer l’entier n tel que n < β <n + 1.

> 4. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables	a, b et m sont des nombres réels.
Initialisation	Affecter à a la valeur 0. Affecter à b la valeur 1.
Traitement	Tant que b− a> 0,1 Affecter à m la valeur . Si f (m) < 1 alors Affecter à a la valeur m. Sinon Affecter à b la valeur m. Fin de Si. Fin de Tant que.
Sortie	Afficher a. Afficher b.

Corrigé

> 1.a) Déterminer graphiquement une image et un nombre dérivé

f(1) est l’ordonnée du point de la courbe 𝒞 d’abscisse 1 qui n’est autre que le point B.
Comme, d’après l’énoncé, B a pour coordonnées (1 ; 2), alors
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse 1 qui n’est autre que la droite (BC). Cette droite étant horizontale,

b) Déterminer une dérivée

La fonction est définie et dérivable sur et sa dérivée u′ est définie pour tout nombre réel x strictement positif par :

La fonction est définie et dérivable sur ℝ donc sur et sa dérivée v′ est définie pour tout nombre réel x strictement positif par :
La fonction f est définie et dérivable sur (énoncé) et pour tout nombre réel x,

Par suite,

c) Résoudre un système de deux équations

Notez bien

D’une part, et (question 1. a)) et d’autre part,

Par conséquent, nous avons

ce qui conduit à et

> 2.a) Étudier le signe d’une fonction

Pour tout nombre réel strictement positif,

Comme et , pour tout nombre réel strictement positif, a le même signe que .

b) Déterminer des limites

donc par produit, .

donc par produit, .

Par somme, .

Remarque : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe 𝒞 au voisinage de + ∞.

donc par produit et par somme, .

Comme pour tout nombre réel , ,

nous avons par produit, .

Remarque : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe 𝒞.

c) Dresser le tableau de variations d’une fonction

Soit un nombre réel strictement positif.

D’après la question 2. a), a le même signe que qui s’annule en

Pour tout , et donc Comme sur , la fonction est strictement décroissante sur [1 ; + ∞[.

Pour tout , et donc Comme sur ]0 ; 1[ , la fonction est strictement croissante sur ]0 ; 1].

Ce qui se résume par le tableau de variations suivant :

> 3.a) Justifier l’existence et l’unicité d’une solution

D’après le tableau de variations, la fonction f est continue et strictement croissante sur

De plus, et , et nous constatons que 1 ∈ ] – ∞ ; 2[. L’équation admet donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution dans l’intervalle