Étude d’une fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une fonction logarithme népérien
 
 

Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1305_02_08C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous :


 

>1.a)  Étudier la limite de f en 0.

b) Que vaut  ? En déduire la limite de la fonction f en + ∞.

c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.

>2.a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; + ∞[, .

b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ l’inéquation − 1 − 2ln(x) > 0.

En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

c) Dresser le tableau des variations de la fonction f.

>3.a)  Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

b) En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

>4. Pour tout entier n  1, on note In l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives et .

a) Démontrer que .

On admet que la fonction F, définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par , est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

b) Calculer In en fonction de n.

c) Étudier la limite de In en + ∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d • E9c  → 1. a), 1. b), 1. c) et 4. c)
  • Fonction logarithme népérien  E9 1., 2. a), 2. b), 3. a) et 4. b)
  • Fonction exponentielle  E8b • E8e  → 2. b) et 3. a)
  • Dérivation  E6cE6e • E6f  → 2. a), 2. c) et 3. b)
  • Intégration  E13 • E15c  → 4. a) et 4. b)

Nos coups de pouce

>2. a) Prenez en compte que la fonction à dériver est une fonction quotient.

>4. a) Remarquez à l’aide du tableau de variations que et à l’aide du tableau de signes que sur l’intervalle considéré. Puis utilisez les propriétés de l’intégrale pour des fonctions continues.

Corrigé

>1.a) Calculer les limites d’une fonction

Par somme, .

.

Par produit, .

b) Calculer les limites d’une fonction

.

Pour tout nombre réel strictement positif x, .

donc par produit, .

De plus donc par somme, .

c) Interpréter graphiquement une limite

Comme , l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de +.

Comme , l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe C.

>2.a) Calculer la dérivée d’une fonction

Comme la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +[, la fonction est dérivable sur ]0 ; +[.

La fonction est dérivable sur donc dérivable sur ]0 ; +[.

Par suite, la fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur ]0 ; +[.

Pour tout nombre réel strictement positif x :

b) Étudier le signe d’une fonction

Pour tout nombre réel strictement positif x :

Par un raisonnement analogue, nous pouvons démontrer que

et .

Comme , a le même signe que son numérateur . Le tableau de signe s’ensuit :

 

x

0

       

+ ∞

Signe de

+

0

-

 

c) Dresser le tableau de variations d’une fonction

Le tableau de variations découle immédiatement du tableau de signes de. En effet, comme sur l’intervalle , f′ est strictement positive, la fonction f est strictement croissante sur . Par contre, comme sur l’intervalle , f′ est strictement négative, la fonction f est strictement décroissante sur .


 

>3.a) Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Un point M de coordonnées (x ; y) appartient à la courbe C si et seulement si et .

Un point M de coordonnées (x ; y) appartient à l’axe des abscisses si et seulement si .

Par conséquent, pour déterminer les coordonnées d’un point M appartenant à la courbe C et à l’axe des abscisses, nous devons résoudre sur ]0 ; +∞[ l’équation.

La courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses : les coordonnées de ce point sont .

b) Étudier le signe d’une fonction

La fonction f est décroissante sur et. Il s’ensuit que la fonction f est positive sur .

La fonction f est croissante sur et elle s’annule en . Il s’ensuit que la fonction f est strictement négative sur et strictement positive sur .

 

x

0

+ ∞

Signe de

-

0

+

 

>4.a) Encadrer une intégrale

D’après le tableau de variations (question 2. c)), pour tout nombre réel strictement positif x, .

D’après le tableau de signes (question 3. b)), pour tout nombre réel x dans l’intervalle , .

Par conséquent, sur , .

Les fonctions f, et sont continues sur . Par propriété de l’intégrale, il en découle que :

Conclusion :.

b) Calculer une intégrale

 

Notez bien

Pour a > 0 :

Soit n un entier naturel supérieur à 1.

c) Déterminer la limite d’une suite

.

Or pour tout entier naturel , .

Par produit et par somme, il en découle que : .

L’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe C et dont les points ont une abscisse supérieure ou égale à , est égale à e.