Fonction logarithme népérien
Corrigé
18
Ens. spécifique
matT_1305_02_08C
Amérique du Nord • Mai 2013
Exercice 4 • 5 points
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 
et soit
? En déduire la limite de la fonction f en + ∞.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 + ∞[, 
.
En déduire le signe de f ′(x) sur l'intervalle ]0 + ∞[.
et 
.
.
On admet que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0 + ∞[ par 
, est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0 + ∞[.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Généralités sur les fonctions • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Limites
E5 a • E5 d • E9 c → 1. a), 1. b), 1. c) et 4. c) - Fonction logarithme népérien
E9 → 1., 2. a), 2. b), 3. a) et 4. b) - Fonction exponentielle
E8 b • E8 e → 2. b) et 3. a) - Dérivation
E6 c • E6e • E6 f → 2. a), 2. c) et 3. b) - Intégration
E13 • E15 c → 4. a) et 4. b)
Nos coups de pouce
et à l'aide du tableau de signes que 
sur l'intervalle considéré. Puis utilisez les propriétés de l'intégrale pour des fonctions continues.
> 1. a) Calculer les limites d'une fonction
Par somme, 
.
.
Par produit, 
.
b) Calculer les limites d'une fonction
.
Pour tout nombre réel strictement positif x, 
.
donc par produit, 
.
De plus 
donc par somme, 
.
c) Interpréter graphiquement une limite
Comme 
, l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe
Comme 
, l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe
> 2. a) Calculer la dérivée d'une fonction
Comme la fonction ln est dérivable sur ]0 
est dérivable sur ]0
La fonction 
est dérivable sur 
donc dérivable sur ]0
Par suite, la fonction f est dérivable sur ]0
Pour tout nombre réel strictement positif x :
b) Étudier le signe d'une fonction
Pour tout nombre réel strictement positif x :
Par un raisonnement analogue, nous pouvons démontrer que
et 
.
Comme 
, 
a le même signe que son numérateur 
. Le tableau de signe s'ensuit :
| x | 0 | | | ||||
| Signe de |
|
|
| | 0 | |
|
c) Dresser le tableau de variations d'une fonction
Le tableau de variations découle immédiatement du tableau de signes de
. En effet, comme sur l'intervalle 
, f′ est strictement positive, la fonction f est strictement croissante sur 
. Par contre, comme sur l'intervalle 
, f′ est strictement négative, la fonction f est strictement décroissante sur 
.
> 3. a) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection
Un point M de coordonnées (x y) appartient à la courbe 
et 
.
Un point M de coordonnées (x y) appartient à l'axe des abscisses si et seulement si 
.
Par conséquent, pour déterminer les coordonnées d'un point M appartenant à la courbe 
.
La courbe 
.
b) Étudier le signe d'une fonction
La fonction f est décroissante sur 
et
. Il s'ensuit que la fonction f est positive sur 
.
La fonction f est croissante sur 
et elle s'annule en 
. Il s'ensuit que la fonction f est strictement négative sur 
et strictement positive sur 
.
| x | 0 |
| | ||||
| Signe de |
|
|
| | 0 | |
|
> 4. a) Encadrer une intégrale
D'après le tableau de variations (question 
.
D'après le tableau de signes (question 
, 
.
Par conséquent, sur 
, 
.
Les fonctions f, 
et 
sont continues sur 
. Par propriété de l'intégrale, il en découle que :
b) Calculer une intégrale
Notez bien
Pour a
Soit n un entier naturel supérieur à 1.
c) Déterminer la limite d'une suite
.
Or pour tout entier naturel 
, 
.
Par produit et par somme, il en découle que : 
.
L'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe 
, est égale à e.