Étude d’une fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
&Eacute tude d’une fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Corrigé

17

Ens. spécifique

matT_1306_07_08C

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 2 • 7 points

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé , la courbe représentative d’une fonction f défi nie et dérivable sur l’intervalle ]0  +  &infin [.


On dispose des informations suivantes  :

  • les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1  0), (1  2) et (0  2) 
  • la courbe passe par le point B et la droite (BC) est tangente à en  B 
  • il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,

.

>1.a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f &prime (1).

b)  Vérifi er que pour tout réel strictement positif x,

.

c)  En déduire les réels a et b.

>2.a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0    +  &infin [, f&prime (x) a le même signe que &minus   ln  x.

b)  Déterminer les limites de f en 0 et en +  &infin . On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif, .

c)  En déduire le tableau de variations de la fonction f.

>3.a) Démontrer que l’équation f (x)  = 1 admet une unique solution &alpha sur l’intervalle ]0  1].

b)  Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel &beta de l’intervalle ]1  +  &infin [ tel que f (&beta )  = 1.

Déterminer l’entier n tel que n   &beta   n +  1.

>4.  On donne l’algorithme ci-dessous.


Variables


a, b et m sont des nombres réels.


Initialisation


Affecter à a la valeur 0.

Affecter à b la valeur 1.


Traitement


Tant que b&minus a> 0,1

Affecter à m la valeur .

Si f (m) a la valeur m.

Sinon Affecter à b la valeur m.

Fin de Si.

Fin de Tant que.


Sortie


Afficher a.

Afficher b.