Intervalle de fluctuation • Estimation

matT_1509_07_05C

Ens. specifique

France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 1 • 7 points

Étude d’une population d’acheteurs de téléviseurs

Lors d’une opération promotionnelle, un magasin d’électroménager propose deux modèles de téléviseurs : un modèle A et un modèle B.

On s’intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70 % des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40 % des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l’extension de garantie et 50 % des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

On note :

$A$ l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle A » ;

$B$ l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle B » ;

$E$ l’événement « un acheteur choisit l’extension de garantie ».

On note $p (A)$ la probabilité de l’événement $A$ .

partie a

▶ 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (1 point)

▶ 2. Calculer la probabilité qu’un acheteur choisisse le modèle A avec l’extension de garantie. (1 point)

▶ 3. Montrer que $p (E) = 0,43$ . (1 point)

▶ 4. Un acheteur n’a pas pris l’extension de garantie, calculer la probabilité qu’il ait acheté le modèle A. (1 point)

partie b

Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante.

Pour cela, il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent intéressante.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante. (1,5 point)

partie c

Pour sa prochaine promotion, le directeur s’intéresse à l’âge de ses clients. On modélise l’âge des clients en années par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $μ = 40$ et d’écart-type $σ = 8$ .

▶ 1. Calculer la probabilité qu’un client ait plus de 60 ans. (0,75 point)

▶ 2. Calculer la probabilité qu’un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie A

▶ 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

▶ 2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

▶ 3. Utilisez une partition de l’univers.

▶ 4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie C

Utilisez la calculatrice.

Corrigé

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, 70 % des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A, donc :

$p (A) = 0,7$ .

$A$ et $B$ sont deux événements contraires, donc :

$p (B) = 0,3$ .

D’autre part, 40 % des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l’extension de garantie et 50 % des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension, donc :

$p_{A} (E) = 0,4$ et $p_{B} (E) = 0,5$ .

D’où l’arbre :

matT_1509_07_00C_02

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « l’acheteur choisit le modèle A avec l’extension de garantie » est $A \cap E$ .

$p (A \cap E) = p (A) \times p_{A} (E) = 0,7 \times 0,4$ = 0,28.

La probabilité qu’un acheteur choisisse le modèle A avec l’extension de garantie est égale à 0,28.

▶ 3. Calculer la probabilité d’un événement

$A$ et $B$ forment une partition de l’univers, donc :

$p (E) = p (E \cap A) + p (E \cap B)$ .

D’après l’arbre :

$p (E) = 0,7 \times 0,4 + 0,3 \times 0,5$

$p (E) = 0,43 .$

La probabilité qu’un acheteur choisisse l’extension de garantie est égale à 0,43.

▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle

Notez bien

$p (E) = 0,43$ , d’où : $p (\bar{E}) = 1 - 0,43 = 0,57$ .

On cherche $p_{\bar{E}} (A) .$

Par définition, $p (\bar{E})$ étant non nulle :

$p_{\bar{E}} (A) = \frac{p (A \cap \bar{E})}{p (\bar{E})} = \frac{0,7 \times 0,6}{0,57} \approx 0,737$ .

La probabilité qu’un acheteur qui n’a pas pris l’extension de garantie ait acheté le modèle A est égale à 0,737 à $10^{- 3}$ près.

partie b

Déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour une proportion

Puisque, sur les 210 clients interrogés, 123 trouvent l’opération promotionnelle intéressante, la fréquence de clients trouvant l’opération promotionnelle intéressante dans cet échantillon de taille 210 est :

$f = \frac{123}{210} = \frac{41}{70}$ .

La taille de l’échantillon est $n = 210$ .

$n \geq 30, n f = 123 \geq 5 et n (1 - f) = 210 (1 - \frac{123}{210}) = 87 \geq 5$ .

Les conditions précédentes étant remplies, si $f$ est la fréquence observée d’individus trouvant l’opération promotionnelle intéressante dans un échantillon de taille 210, alors un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante est :

$[f - \frac{1}{\sqrt{210}}; f + \frac{1}{\sqrt{210}}]$ .

L’intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante est :

$I = [\frac{41}{70} - \frac{1}{\sqrt{210}}; \frac{41}{70} + \frac{1}{\sqrt{210}}]$

$I = [0,516; 0,655] .$

partie C

▶ 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

On cherche $p (X > 60)$ . À la calculatrice :

$p (X > 60) = 0,006$ à $10^{- 3}$ près.

La probabilité qu’un client ait plus de 60 ans est environ 0,006.

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Info

$p (30 < X < 50) = 2 P (40 < X < 50)$ car $X$ suit une loi normale de moyenne 40.

On cherche $p (30 < X < 50)$ . À la calculatrice :

$p (30 < X < 50) = 0,789$ à $10^{- 3}$ près.

La probabilité qu’un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans est environ 0,789.

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partie a

partie b

partie c

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Partie A

Partie C

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 3. Calculer la probabilité d’un événement

▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle

partie b

Déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour une proportion

partie C

▶ 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

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