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Polynésie française • Juin 2015
Exercice 5 • 5 points
Étude d'une somme
Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, 
.
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.
On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :
.
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).
Partie A : Conjectures à l'aide d'un algorithme
▶ 1. Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l'utilisateur :
| Variables | n, k entiers S, v réels | |
| Initialisation | Saisir la valeur de n v prend la valeur … S prend la valeur … | |
| Traitement | Pour k variant de … à … faire | |
| … prend la valeur … … prend la valeur … | ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher S | |
▶ 2. À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :
| n | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| Sn | 2,4 | 4,6 | 6,9 | 9,2 | 11,5 | 13,8 |
En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).
Partie B : Étude d'une suite auxiliaire
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par 
.
▶ 1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, 
.
▶ 2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
▶ 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 
.
Partie C : Étude de (Sn)
▶ 1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.
▶ 2. Vérifier que S3 = ln(4).
▶ 3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 3.
Suites E2a → Partie A, 2.
Propriétés liées à l'exponentielle E8b → Partie B, 1.
Propriétés liées au logarithme népérien E9a • E9b • E9c • E9e → Partie B, 1. Partie C
Algorithmes
Terme d'une suite définie par récurrence A3 → Partie A, 1.
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 3. Démontrez la relation à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Corrigé
partie A : conjectures à l'aide d'un algorithme
▶ 1. Compléter un algorithme
L'étape d'initialisation consiste à renseigner d'une part la valeur prise par le premier terme de la suite 
et d'autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les 
premiers termes de cette suite. Comme, d'après l'énoncé, 
la phase d'initialisation complète est :
| Initialisation | Saisir la valeur de n v prend la valeur ln(2) S prend la valeur 0 |
Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes 
doivent être déterminées successivement (
varie alors de 
à 
). En particulier, pour chaque valeur de 
nous devons calculer d'une part la somme 
en ajoutant à la somme précédente le 
terme de la suite 
et d'autre part le terme suivant 
de cette suite. La phase de traitement complète est donc :
| Traitement | Pour k variant de 1 à n | |
| S prend la valeur S + v v prend la valeur ln(2 - e–v) | ||
| Fin Pour | ||
▶ 2. Émettre une conjecture
Nous constatons d'abord que : 
Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite 
est croissante.
Nous constatons ensuite que, quand 
devient de plus en plus grand, le terme 
le devient également. En particulier, l'évolution semble « régulière » : 
et 
Nous pouvons aussi conjecturer que 
partie B : Étude d'une suite auxiliaire
▶ 1. Établir une relation de récurrence
Notez bien
Pour tout réel 
D'une part, 
D'autre part, pour tout entier naturel 
non nul,
Notez bien
Pour tout réel 
▶ 2. Calculer les termes d'une suite
Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question 1. partie B :
.
.
▶ 3. Démontrer une égalité par récurrence
Soit 
la propriété : 
Démontrons par récurrence que la propriété 
est vraie pour tout entier naturel non nul 
Initialisation
Pour 
Donc 
est vraie. La propriété est ainsi initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété 
soit vraie pour un entier naturel non nul 
donné : 
Démontrons que la propriété 
est vraie. Par la question 1. de la partie B, nous avons :
Il en découle que 
et la propriété 
est vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel 
non nul, 
partie C : étude de (Sn)
▶ 1. Donner une formule explicite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul. Par définition, partie B, nous avons 
Or d'après la question 3. de la partie B, 
et comme 
Nous en déduisons que :
Notez bien
Pour tous réels
En exprimant 
en fonction de 
nous obtenons : 
▶ 2. Vérifier une égalité
Nous avons :
Notez bien
Pour tous réels
▶ 3. Déterminer la limite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul. Nous avons :
Comme 
alors 
La suite 
est divergente.