Etude d'une somme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Suites numériques

Étude d’une somme

50 min

5 points

Intérêt du sujet  Étudiez ici une suite numérique définie par une somme, d’abord à l’aide d’un algorithme de calcul, puis à l’aide d’une suite auxiliaire faisant intervenir les fonctions exponentielle et logarithme népérien.

 

Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, vn+1=ln(2evn).

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :

Sn=k=1nvk=v1+v2++vn.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A : Conjectures À l’aide d’un algorithme

1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : Variables; n, k entiersS, v réels; Ligne 2 : Initialisation; Saisir la valeur de nv prend la valeur …S prend la valeur …; Ligne 3 : Traitement; Pour k variant de … à … faire; Ligne 4 : ; … prend la valeur …… prend la valeur …; Ligne 5 : ; Fin Pour; Ligne 6 : Sortie; Afficher S;

2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

Tableau de 2 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : n; 10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; 1 000 000; Ligne 2 : Sn; 2,4; 4,6; 6,9; 9,2; 11,5; 13,8;

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B : Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par un=evn.

1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, un+1=21un.

2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un=n+1n.

Partie C : Étude de (Sn)

1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

2. Vérifier que S3 = ln(4).

3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Les clés du sujet

Partie B

3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.