7
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 5 • 5 points
Étude d’une somme
Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, 
.
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.
On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :
.
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).
Partie A : Conjectures à l’aide d’un algorithme
▶ 1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :
|
Variables |
n, k entiers S, v réels |
|
|
Initialisation |
Saisir la valeur de n v prend la valeur … S prend la valeur … |
|
|
Traitement |
Pour k variant de … à … faire |
|
|
… prend la valeur … … prend la valeur … |
||
|
Fin Pour |
||
|
Sortie |
Afficher S |
|
▶ 2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :
|
n |
10 |
100 |
1 000 |
10 000 |
100 000 |
1 000 000 |
|
Sn |
2,4 |
4,6 |
6,9 |
9,2 |
11,5 |
13,8 |
En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).
Partie B : Étude d’une suite auxiliaire
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par 
.
▶ 1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, 
.
▶ 2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
▶ 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 
.
Partie C : Étude de (Sn)
▶ 1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.
▶ 2. Vérifier que S3 = ln(4).
▶ 3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 3.
Suites E2a → Partie A, 2.
Propriétés liées à l’exponentielle E8b → Partie B, 1.
Propriétés liées au logarithme népérien E9a • E9b • E9c • E9e → Partie B, 1. ; Partie C
Algorithmes
Terme d’une suite définie par récurrence A3 → Partie A, 1.
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.