Étude d'une somme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française

 

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Polynésie française • Juin 2015

Exercice 5 • 5 points

Étude d’une somme

Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn11.

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :

2045389-Eqn12.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A : Conjectures à l’aide d’un algorithme

1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :

Variables

n, k entiers

S, v réels

Initialisation

Saisir la valeur de n

v prend la valeur …

S prend la valeur …

Traitement

Pour k variant de … à … faire

 

… prend la valeur …

… prend la valeur …

 

Fin Pour

Sortie

Afficher S

2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

n

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Sn

2,4

4,6

6,9

9,2

11,5

13,8

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B : Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par 2045389-Eqn13.

1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn14.

2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn15.

Partie C : Étude de (Sn)

1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

2. Vérifier que S3 = ln(4).

3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 3.

Suites  E2a Partie A, 2.

Propriétés liées à l’exponentielle  E8b Partie B, 1.

Propriétés liées au logarithme népérien  E9a • E9b • E9c • E9e Partie B, 1. ; Partie C

Algorithmes

Terme d’une suite définie par récurrence  A3 Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie B

3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Corrigé

Corrigé

partie A : conjectures à l’aide d’un algorithme

1. Compléter un algorithme

L’étape d’initialisation consiste à renseigner d’une part la valeur prise par le premier terme de la suite 2045389-Eqn293 et d’autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les 2045389-Eqn294 premiers termes de cette suite. Comme, d’après l’énoncé, 2045389-Eqn295 la phase d’initialisation complète est :

Initialisation

Saisir la valeur de n

v prend la valeur ln(2)

S prend la valeur 0

Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes 2045389-Eqn301 doivent être déterminées successivement (2045389-Eqn302 varie alors de 2045389-Eqn303 à 2045389-Eqn304). En particulier, pour chaque valeur de 2045389-Eqn305 nous devons calculer d’une part la somme 2045389-Eqn306 en ajoutant à la somme précédente le 2045389-Eqn307 terme de la suite 2045389-Eqn308 et d’autre part le terme suivant 2045389-Eqn309 de cette suite. La phase de traitement complète est donc :

Traitement

Pour k variant de 1 à n

   

S prend la valeur Sv

v prend la valeur ln(2 - ev)

 

Fin Pour

2. Émettre une conjecture

Nous constatons d’abord que : 2045389-Eqn317

Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite 2045389-Eqn318est croissante.

Nous constatons ensuite que, quand 2045389-Eqn319 devient de plus en plus grand, le terme 2045389-Eqn320 le devient également. En particulier, l’évolution semble « régulière » : 2045389-Eqn321 ; 2045389-Eqn322 ; 2045389-Eqn323 ; 2045389-Eqn324 et 2045389-Eqn325

Nous pouvons aussi conjecturer que 2045389-Eqn326

partie B : Étude d’une suite auxiliaire

1. Établir une relation de récurrence

Notez bien

Pour tout réel 2045389-Eqn3272045389-Eqn328

D’une part, 2045389-Eqn329

D’autre part, pour tout entier naturel 2045389-Eqn330 non nul,

Notez bien

Pour tout réel 2045389-Eqn3312045389-Eqn332

2045389-Eqn333

2. Calculer les termes d’une suite

Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question 1. partie B :

2045389-Eqn334

2045389-Eqn335.

2045389-Eqn336.

3. Démontrer une égalité par récurrence

Soit 2045389-Eqn337 la propriété : 2045389-Eqn338

Démontrons par récurrence que la propriété 2045389-Eqn339 est vraie pour tout entier naturel non nul 2045389-Eqn340

Initialisation

Pour 2045389-Eqn3412045389-Eqn342 Donc 2045389-Eqn343 est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété 2045389-Eqn344 soit vraie pour un entier naturel non nul 2045389-Eqn345 donné : 2045389-Eqn346

Démontrons que la propriété 2045389-Eqn347 est vraie. Par la question 1. de la partie B, nous avons :

2045389-Eqn348

Il en découle que 2045389-Eqn349 et la propriété 2045389-Eqn350 est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel 2045389-Eqn351non nul, 2045389-Eqn352

partie C : étude de (Sn)

1. Donner une formule explicite d’une suite

Soit 2045389-Eqn353 un entier naturel non nul. Par définition, partie B, nous avons 2045389-Eqn354 Or d’après la question 3. de la partie B, 2045389-Eqn355 et comme 2045389-Eqn356 Nous en déduisons que :

Notez bien

Pour tous réels2045389-Eqn357

2045389-Eqn358

2045389-Eqn359

En exprimant 2045389-Eqn360en fonction de 2045389-Eqn361 nous obtenons : 2045389-Eqn362

2. Vérifier une égalité

Nous avons :

Notez bien

Pour tous réels2045389-Eqn363

2045389-Eqn364

2045389-Eqn365

3. Déterminer la limite d’une suite

Soit 2045389-Eqn366 un entier naturel non nul. Nous avons :

2045389-Eqn367

Comme 2045389-Eqn368 alors 2045389-Eqn369La suite 2045389-Eqn370 est divergente.