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Soit (v_n) la suite définie par v₁ = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, $v_{n+1}=\ln (2-{\text{e}}^{-v_n})$.

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (S_n) pour tout entier naturel n non nul par :

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{v}_k=v_1+v_2+\cdots +v_n}$.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (S_n).

Partie A : Conjectures À l’aide d’un algorithme

▶ 1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S_n pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :

▶ 2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de S_n. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (S_n).

Partie B : Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (u_n) par $u_n={\text{e}}^{v_n}$.

▶ 1. Vérifier que u₁ = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, $u_{n+1}=2-\frac{1}{u_n}$.

▶ 2. Calculer u₂, u₃ et u₄. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

▶ 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, $u_n=\frac{n+1}{n}$.

Partie C : Étude de (S_n)

▶ 1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer v_n en fonction de u_n, puis v_n en fonction de n.

▶ 2. Vérifier que S₃ = ln(4).

▶ 3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer S_n en fonction de n. En déduire la limite de la suite (S_n).