Étude d'une somme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française

 

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Polynésie française • Juin 2015

Exercice 5 • 5 points

Étude d’une somme

Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn11.

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :

2045389-Eqn12.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A : Conjectures à l’aide d’un algorithme

1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :

Variables

n, k entiers

S, v réels

Initialisation

Saisir la valeur de n

v prend la valeur …

S prend la valeur …

Traitement

Pour k variant de … à … faire

 

… prend la valeur …

… prend la valeur …

 

Fin Pour

Sortie

Afficher S

2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

n

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Sn

2,4

4,6

6,9

9,2

11,5

13,8

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B : Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par 2045389-Eqn13.

1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn14.

2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 2045389-Eqn15.

Partie C : Étude de (Sn)

1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

2. Vérifier que S3 = ln(4).

3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 3.

Suites  E2a Partie A, 2.

Propriétés liées à l’exponentielle  E8b Partie B, 1.

Propriétés liées au logarithme népérien  E9a • E9b • E9c • E9e Partie B, 1. ; Partie C

Algorithmes

Terme d’une suite définie par récurrence  A3 Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie B

3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.