Annale corrigée Exercice

Etude d'une somme

Suites numériques

Étude d'une somme

50 min

5 points

Intérêt du sujet  Étudiez ici une suite numérique définie par une somme, d'abord à l'aide d'un algorithme de calcul, puis à l'aide d'une suite auxiliaire faisant intervenir les fonctions exponentielle et logarithme népérien.

 

Soit (vn) la suite définie par v1 = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, vn+1=ln(2evn).

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :

Sn=k=1nvk=v1+v2++vn.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A : Conjectures À l'aide d'un algorithme

1. Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l'utilisateur :

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : Variables; n, k entiersS, v réels; Ligne 2 : Initialisation; Saisir la valeur de nv prend la valeur …S prend la valeur …; Ligne 3 : Traitement; Pour k variant de … à … faire; Ligne 4 : ; … prend la valeur …… prend la valeur …; Ligne 5 : ; Fin Pour; Ligne 6 : Sortie; Afficher S;

2. À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

Tableau de 2 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : n; 10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; 1 000 000; Ligne 2 : Sn; 2,4; 4,6; 6,9; 9,2; 11,5; 13,8;

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par un=evn.

1. Vérifier que u1 = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, un+1=21un.

2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un=n+1n.

Partie C : Étude de (Sn)

1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

2. Vérifier que S3 = ln(4).

3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Les clés du sujet

Partie B

3. Démontrez la relation à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

partie a : conjectures À l'aide d'un algorithme

1. Compléter un algorithme

L'étape d'initialisation consiste à renseigner d'une part la valeur prise par le premier terme de la suite vn et d'autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les n premiers termes de cette suite. Comme, d'après l'énoncé, v1=ln(2), la phase d'initialisation complète est :

Tableau de 1 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Initialisation; Saisir la valeur de nv prend la valeur ln(2)S prend la valeur 0;

Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes S1, S2, ...Sn doivent être déterminées successivement (k varie alors de 1 à n). En particulier, pour chaque valeur de k, nous devons calculer d'une part la somme Sk en ajoutant à la somme précédente le k-ième terme de la suite vn et d'autre part le terme suivant vk+1 de cette suite. La phase de traitement complète est donc :

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Traitement; Pour k variant de 1 à n; Ligne 2 : ; ; S prend la valeur S + vv prend la valeur ln(2 - e–v); Ligne 3 : ; Fin Pour;

2. Émettre une conjecture

Nous constatons d'abord que : v10v100v1000v10000v100000v1000000.

Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite vn est croissante.

Nous constatons ensuite que, quand n devient de plus en plus grand, le terme Sn le devient également. En particulier, l'évolution semble « régulière » : S100=4,6 ; S1000=S100+2,3 ; S10000=S1000+2,3 ; S100000=S10000+2,3 et S1000000=S100000+2,3.

Nous pouvons aussi conjecturer que limn+Sn=+.

partie b : Étude d'une suite auxiliaire

1. Établir une relation de récurrence

à noter

Pour tout réel a>0, eln(a)=a.

D'une part, u1=ev1=eln(2)=2.

D'autre part, pour tout entier naturel n non nul,

un+1=evn+1=eln(2evn)=2evn=21evn=21un.

2. Calculer les termes d'une suite

Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question 1. partie B :

u2=21u1=212=32.

u3=21u2=2132=223=43.

u4=21u3=2143=234=54.

3. Démontrer une égalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : un=n+1n.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul n.

Initialisation

Pour n=1, u1=2=21=1+11. Donc P(1) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel non nul k donné : uk=k+1k.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Par la question 1. de la partie B, nous avons :

uk+1=21uk     =21k+1k (hypothèse de récurrence)    =2kk+1    =2×(k+1)k+1kk+1    =k+1+1k+1.

Il en découle que uk+1=(k+1)+1k+1 et la propriété P(k+1) est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n non nul, un=n+1n.

partie c : étude de (Sn)

1. Donner une formule explicite d'une suite

Soit n un entier naturel non nul. Par définition, partie B, nous avons un=evn. Or d'après la question 3. de la partie B, un=n+1n et comme n1, un>0. Nous en déduisons que :

à noter

Pour tous réels a>0 et b>0,

a=bln(a)=ln(b).

un=evnln(un)=ln(evn)ln(un)=vn.

En exprimant un en fonction de n, nous obtenons : vn=lnn+1n.

2. Vérifier une égalité

Nous avons :

à noter

Pour tous réels a>0 et b>0,

lnab=ln(a)ln(b).

S3=k=13vk   =v1+v2+v3   =ln2+ln32+ln43   =ln(2)+ln(3)ln(2)+ln(4)ln(3)   =ln(4).

3. Déterminer la limite d'une suite

Soit n un entier naturel non nul. Nous avons :

Sn=k=1nvk   =k=1nlnk+1k   =k=1nln(k+1)ln(k)   =k=1nln(k+1)k=1nln(k)   =j=2n+1ln(j)k=1nln(k)(en posant j=k+1)   = ln(n+1)ln(1)  =ln(n+1).

Comme limn+n+1=+, alors limn+Sn=limN+ln(N)=+.

La suite (Sn) est divergente.

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