partie a : conjectures À l'aide d'un algorithme

▶ 1. Compléter un algorithme

L'étape d'initialisation consiste à renseigner d'une part la valeur prise par le premier terme de la suite $\left(v_n\right)$ et d'autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les $n$ premiers termes de cette suite. Comme, d'après l'énoncé, $v_1=\ln (2),$ la phase d'initialisation complète est :

Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes $S_1,S_2,...\text{, }{S}_n$ doivent être déterminées successivement ($k$ varie alors de $1$ à $n$). En particulier, pour chaque valeur de $k,$ nous devons calculer d'une part la somme $S_k$ en ajoutant à la somme précédente le $k\text{-ième}$ terme de la suite $\left(v_n\right)$ et d'autre part le terme suivant $v_{k+1}$ de cette suite. La phase de traitement complète est donc :

▶ 2. Émettre une conjecture

Nous constatons d'abord que :

Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.

Nous constatons ensuite que, quand $n$ devient de plus en plus grand, le terme $S_n$ le devient également. En particulier, l'évolution semble « régulière » : $S_{100}=\mathrm{4,6}$ ; $S_{1000}=S_{100}+\mathrm{2,3}$ ; $S_{10000}=S_{1000}+\mathrm{2,3}$ ; $S_{100000}=S_{10000}+\mathrm{2,3}$ et $S_{1000000}=S_{100000}+\mathrm{2,3}.$

Nous pouvons aussi conjecturer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty .$

partie b : Étude d'une suite auxiliaire

▶ 1. Établir une relation de récurrence

D'une part, $u_1={\text{e}}^{v_1}={\text{e}}^{\ln (2)}=2.$

D'autre part, pour tout entier naturel $n$ non nul,

$u_{n+1}={\text{e}}^{v_{n+1}}={\text{e}}^{\ln (2-{\text{e}}^{-v_n})}=2-{\text{e}}^{-v_n}=2-\frac{1}{{\text{e}}^{v_n}}=2-\frac{1}{u_n}.$

▶ 2. Calculer les termes d'une suite

Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question 1. partie B :

$u_2=2-\frac{1}{u_1}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

$u_3=2-\frac{1}{u_2}=2-\frac{1}{\frac{3}{2}}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.

$u_4=2-\frac{1}{u_3}=2-\frac{1}{\frac{4}{3}}=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$.

▶ 3. Démontrer une égalité par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $u_n=\frac{n+1}{n}.$

Démontrons par récurrence que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel non nul $n.$

Initialisation

Pour $n=1,$ $u_1=2=\frac{2}{1}=\frac{1+1}{1}.$ Donc $P(1)$ est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété $P(k)$ soit vraie pour un entier naturel non nul $k$ donné : $u_k=\frac{k+1}{k}.$

Démontrons que la propriété $P(k+1)$ est vraie. Par la question 1. de la partie B, nous avons :

$\begin{array}{l}{u}_{k+1}=2-\frac{1}{u_k}\\ =2-\frac{1}{\frac{k+1}{k}}\text{ (hypothèse de récurrence)}\\ =2-\frac{k}{k+1}\\ =\frac{2\times (k+1)}{k+1}-\frac{k}{k+1}\\ =\frac{\left(k+1\right)+1}{k+1}.\end{array}$

Il en découle que $u_{k+1}=\frac{(k+1)+1}{k+1}$ et la propriété $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=\frac{n+1}{n}.$

partie c : étude de (S_n)

▶ 1. Donner une formule explicite d'une suite

Soit $n$ un entier naturel non nul. Par définition, partie B, nous avons $u_n={\text{e}}^{v_n}.$ Or d'après la question 3. de la partie B, $u_n=\frac{n+1}{n}$ et comme $n\ge 1,u_n>0.$ Nous en déduisons que :

$u_n={\text{e}}^{v_n}\iff \ln (u_n)=\ln ({\text{e}}^{v_n})\iff \ln (u_n)=v_n.$

En exprimant $u_n$ en fonction de $n,$ nous obtenons : $v_n=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right).$

▶ 2. Vérifier une égalité

Nous avons :

$\begin{array}{l}{S}_3={\displaystyle \sum _{k=1}^3{v}_k}\\ =v_1+v_2+v_3\\ =\ln \left(2\right)+\ln \left(\frac{3}{2}\right)+\ln \left(\frac{4}{3}\right)\\ =\ln (2)+\ln (3)-\ln (2)+\ln (4)-\ln (3)\\ =\ln (4).\end{array}$

▶ 3. Déterminer la limite d'une suite

Soit $n$ un entier naturel non nul. Nous avons :

$\begin{array}{l}{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{v}_k}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\left(\ln (k+1)-\ln (k)\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln (k+1)}-{\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln (k)}\\ ={\displaystyle \sum _{j=2}^{n+1}\ln (j)}-{\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln (k)}\text{(en posant }j=k+1)\\ \text{ = ln}(n+1)-\ln (1)\\ =\ln (n+1).\end{array}$

Comme $\underset{n\to +\infty }{\lim }n+1=+\infty ,$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{N\to +\infty }{\lim }\ln (N)=+\infty .$

La suite $(S_n)$ est divergente.