Étude d’une suite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Étude d’une suite

Suites numériques

matT_1406_13_01C

Ens. spécifique

7

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

On considère la suite (un) définie par u0= 0 et, pour tout entier naturel n, un+1=un+ 2n + 2.

>1. Calculer u1 et u2.

>2. On considère les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1

Variables


n est un entier naturel

u est un réel


Entrée


Saisir la valeur de n


Traitement


u prend la valeur 0



Pour i allant de 1 à n




u prend la valeur u + 2i + 2



Fin Pour


Sortie


Afficher u

Algorithme 2

Variables


n est un entier naturel

u est un réel


Entrée


Saisir la valeur de n


Traitement


u prend la valeur 0



Pour i allant de 0 à n– 1




u prend la valeur u + 2i + 2



Fin Pour


Sortie


Afficher u

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ?

>3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et un en ordonnée.



n


un


0


0


1


2


2


6


3


12


4


20


5


30


6


42


7


56


8


72


9


90


10


110


11


132


12


156

a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, un=an2+bn +c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.

>4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn) par :

vn=un+1un.

a) Exprimer vn en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn) ?

b) On définit, pour tout entier naturel n, .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= (n + 1)(n + 2).

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn=un+1u0, puis exprimer un en fonction de n.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites arithmétiques • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variations d’une suite  E2a  → 3. a)
  • Définition d’une suite arithmétique  E3a  → 4. a)
  • Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique  E3e  → 4. b)
  • Raisonnement par récurrence  E1 4. c)

Nos coups de pouce

>3. b) Lisez dans le tableau les valeurs de pour , et (par exemple). Puis exprimez en fonction de , et pour les valeurs de choisies. Résolvez le système induit pour conclure.

>4. c) Utilisez un raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété énoncée.

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer des termes d’une suite

  • .
  • .

>2. Comprendre un algorithme

Remarquez qu’une seule ligne différencie ces deux algorithmes : la ligne « Pour » dans la phase de traitement. Dans l’algorithme 1, la variable prend les valeurs de à (avec un pas de 1) tandis que dans l’algorithme 2, la variable prend les valeurs de 0 à (avec un pas de 1, également). Si nous saisissons pour la valeur dans l’algorithme 1 (phase d’entrée), prend uniquement la valeur et, de ce fait, l’instruction de la boucle « Pour » ne s’exécute qu’une seule fois.

Autrement dit, la valeur de la variable sera mise à jour une seule fois par l’instruction : «  prend la valeur  ». Comme et (initialisation, première ligne de la phase de traitement), prend la valeur L’algorithme 1 afficherait ainsi la valeur pour valeur de , ce qui conduit à une contradiction avec la réponse à la question 1. (). Par élimination, l’algorithme qui permet d’afficher en sortie la valeur deest donc l’algorithme 2.

>3. a) Émettre une conjecture et la démontrer

  • Dans le tableau donné, nous constatons que quand les valeurs de augmentent, les valeurs de augmentent aussi. Nous pouvons ainsi conjecturer que la suite est croissante.
  • Pour tout entier naturel , nous avons : , ce qui implique que . La suiteest donc strictement croissante.

b) Résoudre un système

  • D’une part, d’après le tableau donné, nous avons , et
  • D’autre part, en remplaçant dans la formule donnée, nous avons :

.

Par les deux points précédents, nous en déduisons que les nombres réels et sont solutions du système suivant :

.

Dans le cadre de cette conjecture, pour tout entier naturel ,

>4. a) Déterminer la nature d’une suite

  • Soit un entier naturel. Nous avons :
  • Pour tout entier naturel , nous avons : ce qui implique que

La suiteest arithmétique de raison 2 et de premier terme

b) Déterminer une somme de termes consécutifs

Le terme est la somme des premiers termes de la suite qui, d’après la question 4. a), est arithmétique. Ainsi, pour tout entier naturel  :

c) Expliciter le terme général d’une suite

Première méthode

Soit la propriété «  ».

Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation : comme , la propriété est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie au rang . Démontrons qu’elle est vraie au rang

Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, la proposition est donc vraie : pour tout entier natureln,.

Deuxième méthode

Notez bien

Faire varier de 0 à sur l’indice équivaut à faire varier  de 1 à sur l’indice .

Pour ,

Et pour tout entier naturel  :

La conclusion s’ensuit.

  • Pour tout entier naturel ,

Ceci peut encore s’écrire : , pour tout entier .

Cette dernière égalité est également vraie pour , car . Nous en concluons alors que, pour tout entier naturel,.

Ce résultat est cohérent avec la question 3. b).