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Etude d'une suite

Sujet complet • Exercice 2

Étude d'une suite

1 h 20

6 points

Intérêt du sujet  Étudiez ici une suite définie par récurrence à l'aide d'un logarithme népérien, puis calculez un indice seuil avec un algorithme.

 

Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle [0 ; + ∞[, on définit la fonction f par f(x) = x − ln(x +1).

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + ∞[.

2. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; + ∞[, ln(x + 1) ≤ x.

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = un − ln(1 + un). On admet que la suite de terme général un est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à 10−3 près de u2.

2. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≥ 0.

b) Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire que, pour tout entier naturel n, un 1.

c) Montrer que la suite (un) est convergente.

3. On note ℓ la limite de la suite (un) et on admet que ℓ = f(ℓ), où f est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de ℓ.

4. a) Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel p donné, permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10p.

b) Déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10−15.

Les clés du sujet

Partie A

2. Calculez l'image de 0 par la fonction f. En utilisant le sens de variation établi à la question précédente, déduisez-en l'inégalité.

Partie B

2. c) Utilisez les deux questions précédentes à savoir les questions 2. a) et 2. b) pour montrer brièvement la convergence de la suite étudiée.

3. Résolvez dans ℝ l'équation f(l)=l.

Partie A : établir une inégalité

1. Étudier le sens de variation d'une fonction

La fonction affine xx + 1 est dérivable sur [0;+[. Comme cette fonction est strictement positive sur cet intervalle, par composition, la fonction x ↦ ln(x + 1) est également dérivable sur cet intervalle. La fonction identité xx l'est aussi. Par différence, la fonction f est ainsi dérivable sur [0;+[.

Pour tout réel x positif, on a :

rappel

Si u est dérivable et strictement positive sur I, ln(u) est dérivable sur I et (ln(u))=uu.

f(x)=11x+1=xx+1.

Or x ≥ 0 et x + 1 ≥ 1 > 0. Ainsi, pour tout réel x de [0;+[, f(x)0.

La fonction f est donc croissante sur [0;+[.

2. Justifier une inégalité

D'après la question précédente, la fonction f est croissante sur [0;+[. Ainsi, pour tout réel x positif on a f(x)f(0).

Or, f(0)=0ln(0+1)=ln(1)=0. Il en découle que f(x) ≥ 0 ce qui est équivalent à x - ln(x + 1) ≥ 0 ou encore xln(x+1). Ainsi, pour tout réel x de [0;+[, ln(x+1)x.

Partie B : application à l'étude d'une suite

1. Calculer une valeur approchée d'un terme d'une suite

Dans un premier temps, on a : u1=u0ln(1+u0)=1ln(2). Dans un second temps, on a : u2=u1ln(1+u1)=1ln(2)ln(2ln(2))0,039.

Une valeur approchée à 103 près de u2 est donc 0,039.

2. a) Raisonner par récurrence

Notons, pour n ∈ ℕ, P(n) la propriété : un ≥ 0.

Initialisation : d'après l'énoncé, u0 = 1. Comme u0 ≥ 0, P(0) est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné, c'est-à-dire uk ≥ 0. Comme la fonction f introduite à la partie A est croissante sur [0;+[ (question 1. de la partie A) et que f(0) = 0 (question 2. de la partie A), il en découle que f(uk) ≥ f(0) et donc f(uk) ≥ 0.

Or, f(uk)=ukln(1+uk)=uk+1. Ainsi, uk+1 ≥ 0 et la propriété P(k + 1) est vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée à n = 0 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, un0.

b) Justifier le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel n, on a : un+1=unln(1+un)un+1un=ln(1+un).

Or, d'après la question précédente, un ≥ 0. Par suite, on a :

un0un+11ln(un+1)ln(1) ⇔ ln(1 + un) ≥ 0.

On en conclut que pour tout entier naturel n, un+1 - un ≤ 0 ce qui s'écrit également un+1un. La suite (un) est donc décroissante.

Du point précédent, il en découle que pour tout entier naturel n, unu0=1.

c) Montrer qu'une suite est convergente

D'après la question B 2. a), la suite (un) est minorée par 0 et d'après la question B 2. b), la suite (un) est décroissante. Par le théorème de la convergence monotone, la suite (un) est ainsi convergente.

3. Résoudre une équation

D'après l'énoncé, on a l=f(l). Or,

l=f(l)l=lln(l+1)0=ln(l+1)e0=l+11=l+1l=0.

La valeur de est donc 0.

4. a) Écrire un algorithme

Soit p un entier naturel. Un algorithme qui permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10p est :

004_matT_1905_02_01C_algo1

Remarque : si la dernière ligne de cet algorithme n'est pas écrite, l'algorithme ne détermine pas le rang demandé mais l'indice du premier terme vérifiant la condition donnée. En effet, u0 est le terme d'indice 0 mais le terme de rang 1.

b) Déterminer l'indice d'un terme à l'aide d'une calculatrice

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : TI 83+; CASIO GRAPH 75; Numworks; Ligne 2 : ; ; ; Ligne 3 : ; ; ;

Selon le modèle choisi de calculatrice, les résultats sont différents. Pour la TI 83+, le résultat serait n = 5. Mais, les résultats affichés par cette dernière ne sont pas en accord avec l'étude théorique. En effet, d'après la question B 2. a), les termes de la suite (un) sont positifs et cette calculatrice affiche des termes négatifs… Pour la Casio Graph 75, la suite (un) devient stationnaire à partir de l'indice 5 alors que d'après l'étude théorique, cette suite converge vers zéro (question B 3.). Quant à la calculatrice Numworks, le résultat serait n = 6, résultat théoriquement attendu !

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