Étude d’une suite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
&Eacute tude d’une suite

Suites numériques

matT_1406_13_01C

Ens. spécifique

7

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

On considère la suite (un) définie par u0= 0 et, pour tout entier naturel  n, un+1=un+ 2n + 2.

>1. Calculer u1 et u2.

>2. On considère les deux algorithmes suivants  :

Algorithme 1

Variables


n est un entier naturel

u est un réel


Entrée


Saisir la valeur de n


Traitement


u prend la valeur 0



Pour i allant de 1 à n




u prend la valeur u + 2i + 2



Fin Pour


Sortie


Afficher u

Algorithme 2

Variables


n est un entier naturel

u est un réel


Entrée


Saisir la valeur de n


Traitement


u prend la valeur 0



Pour i allant de 0 à n&ndash 1




u prend la valeur u + 2i + 2



Fin Pour


Sortie


Afficher u

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur  ?

>3. &Agrave l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et un en ordonnée.



n


un


0


0


1


2


2


6


3


12


4


20


5


30


6


42


7


56


8


72


9


90


10


110


11


132


12


156

a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un)  ? Démontrer cette conjecture.

b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, un=an2+bn +c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.

>4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn) par  :

vn=un+1 &ndash un.

a) Exprimer vn en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn)  ?

b) On définit, pour tout entier naturel n, .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= (n + 1)(n + 2).

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn=un+1 &ndash u0, puis exprimer un en fonction de n.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites arithmétiques • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variations d’une suite   E2a  → 3.  a)
  • Définition d’une suite arithmétique   E3a  → 4.  a)
  • Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique   E3e  → 4.  b)
  • Raisonnement par récurrence   E1  4.  c)

Nos coups de pouce

>3. b) Lisez dans le tableau les valeurs de pour , et (par exemple). Puis exprimez en fonction de , et pour les valeurs de choisies. Résolvez le système induit pour conclure.

>4. c) Utilisez un raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété énoncée.