Partie A : établir une inégalité

▶ 1. Étudier le sens de variation d'une fonction

La fonction affine x ↦ x + 1 est dérivable sur $[\text{0};+\infty [$. Comme cette fonction est strictement positive sur cet intervalle, par composition, la fonction x ↦ ln(x + 1) est également dérivable sur cet intervalle. La fonction identité x ↦ x l'est aussi. Par différence, la fonction f est ainsi dérivable sur $[\text{0};+\infty [$.

Pour tout réel x positif, on a :

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}.$

Or x ≥ 0 et x + 1 ≥ 1 > 0. Ainsi, pour tout réel x de $[\text{0};+\text{∞}[,$ $f^{\prime }(x)\ge 0.$

La fonction f est donc croissante sur $[\text{0};+\infty [$.

▶ 2. Justifier une inégalité

D'après la question précédente, la fonction f est croissante sur $[\text{0};+\infty [.$ Ainsi, pour tout réel x positif on a $f(x)\ge f(0).$

Or, $f(0)=0-\ln (0+1)=-\ln (1)=0.$ Il en découle que f(x) ≥ 0 ce qui est équivalent à x - ln(x + 1) ≥ 0 ou encore $x\ge \ln (x+1).$ Ainsi, pour tout réel $x$ de $[\text{0};+\infty [,$ $\text{ln}(x+1)\le x$.

Partie B : application à l'étude d'une suite

▶ 1. Calculer une valeur approchée d'un terme d'une suite

Dans un premier temps, on a : $u_1=u_0-\ln (1+u_0)=1-\ln (2).$ Dans un second temps, on a : $u_2=u_1-\ln (1+u_1)=1-\ln (2)-\ln (2-\ln (2))\approx \mathrm{0,039}$.

Une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près de u₂ est donc 0,039.

▶ 2. a) Raisonner par récurrence

Notons, pour n ∈ ℕ, P(n) la propriété : u_n ≥ 0.

Initialisation : d'après l'énoncé, u₀ = 1. Comme u₀ ≥ 0, P(0) est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné, c'est-à-dire u_k ≥ 0. Comme la fonction f introduite à la partie A est croissante sur $[\text{0};+\infty [$ (question 1. de la partie A) et que f(0) = 0 (question 2. de la partie A), il en découle que f(u_k) ≥ f(0) et donc f(u_k) ≥ 0.

Or, $f(u_k)=u_k-\ln (1+u_k)=u_{k+1}.$ Ainsi, u_k+1 ≥ 0 et la propriété P(k + 1) est vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée à n = 0 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\ge 0$.

b) Justifier le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=u_n-\ln (1+u_n)\iff u_{n+1}-u_n=-\text{ln}(1+u_n)$.

Or, d'après la question précédente, u_n ≥ 0. Par suite, on a :

$u_n\ge 0\iff u_n+1\ge 1\iff \ln (u_n+1)\ge \text{ln}(1)$ ⇔ ln(1 + u_n) ≥ 0.

On en conclut que pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n ≤ 0 ce qui s'écrit également u_n+1 ≤ u_n. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Du point précédent, il en découle que pour tout entier naturel n, $u_n\le u_0=1$.

c) Montrer qu'une suite est convergente

D'après la question B 2. a), la suite $(u_n)$ est minorée par 0 et d'après la question B 2. b), la suite $(u_n)$ est décroissante. Par le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est ainsi convergente.

▶ 3. Résoudre une équation

D'après l'énoncé, on a $\mathcal{l}=f(\mathcal{l}).$ Or,

$\begin{array}{l}\mathcal{l}=f(\mathcal{l})\iff \mathcal{l}=\mathcal{l}-\ln (\mathcal{l}+1)\iff 0=\ln (\mathcal{l}+1)\\ \iff {\text{e}}^0=\mathcal{l}+1\iff 1=\mathcal{l}+1\iff \mathcal{l}=0.\end{array}$

La valeur de ℓ est donc 0.

▶ 4. a) Écrire un algorithme

Soit p un entier naturel. Un algorithme qui permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (u_n) sont inférieurs à ${10}^{-p}$ est :

Remarque : si la dernière ligne de cet algorithme n'est pas écrite, l'algorithme ne détermine pas le rang demandé mais l'indice du premier terme vérifiant la condition donnée. En effet, u₀ est le terme d'indice 0 mais le terme de rang 1.

b) Déterminer l'indice d'un terme à l'aide d'une calculatrice

Selon le modèle choisi de calculatrice, les résultats sont différents. Pour la TI 83+, le résultat serait n = 5. Mais, les résultats affichés par cette dernière ne sont pas en accord avec l'étude théorique. En effet, d'après la question B 2. a), les termes de la suite (u_n) sont positifs et cette calculatrice affiche des termes négatifs… Pour la Casio Graph 75, la suite (u_n) devient stationnaire à partir de l'indice 5 alors que d'après l'étude théorique, cette suite converge vers zéro (question B 3.). Quant à la calculatrice Numworks, le résultat serait n = 6, résultat théoriquement attendu !