Étude d’une suite ; application à l’évolution du nombre d’inscrits à une association

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Étude d’une suite ; application à l’évolution du nombre d’inscrits à une association

Les thèmes clés

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

 

partie a

Soit (un) la suite définie par u0 = 350 et, pour tout entier naturel :

un+1=0,5 un+100.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :

wn = un - 200.

a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

un=200+150×0,5n. (1 point)

partie b

Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au 1er septembre 2015, le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500, dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années, à la modélisation suivante.

Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs, l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles.

D’une année sur l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 %.

1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite (Fn), où Fn désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’année 2015 + n. On a donc F0= 350.

Pour tout entier naturel n, exprimer Fn+1 en fonction de Fn. (0,5 point)

2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite (Gn), où Gn désigne le nombre de garçons adhérents à l’association pour l’année 2015 + n.

a) Pour tout entier naturel n, exprimer Gn en fonction de n. (0,5 point)

b) À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ? (0,5 point)

3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser le nombre de filles. On propose l’algorithme suivant :

012_matT_1611_11_03C_algo_001

a) Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. (0,75 point)

Valeur de n

0

1

Valeur de G

150

Valeur de F

350

Condition G F

vrai

b) En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

2. a) La suite (wn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, wn+1 = q wn.

3. b) Déterminez d’abord l’expression de wn en fonction de n.

Partie B

2. a) Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10 %.

b) Résolvez une inéquation.

Partie C

3. a) n est le rang de l’année, G et F respectivement le nombre de garçons et le nombre de filles inscrits à l’association l’année n.