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Étude d'une suite application à l'évolution du nombre d'inscrits à une association

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Étude d'une suite  application à l'évolution du nombre d'inscrits à une association

Les thèmes clés

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

 

partie a

Soit (un) la suite définie par u0 = 350 et, pour tout entier naturel :

un+1=0,5 un+100.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :

wn = un - 200.

a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

un=200+150×0,5n. (1 point)

partie b

Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au 1er septembre 2015, le nombre d'enfants inscrits dans cette association est 500, dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre d'adhérents lors des prochaines années, à la modélisation suivante.

Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription  par ailleurs, l'association accueille chaque année 100 nouvelles filles.

D'une année sur l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10 %.

1. On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite (Fn), où Fn désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année 2015 + n. On a donc F0= 350.

Pour tout entier naturel n, exprimer Fn+1 en fonction de Fn. (0,5 point)

2. On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite (Gn), où Gn désigne le nombre de garçons adhérents à l'association pour l'année 2015 + n.

a) Pour tout entier naturel n, exprimer Gn en fonction de n. (0,5 point)

b) À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ? (0,5 point)

3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser le nombre de filles. On propose l'algorithme suivant :

012_matT_1611_11_03C_algo_001

a) Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité. (0,75 point)

Valeur de n

0

1

Valeur de G

150

Valeur de F

350

Condition G F

vrai

b) En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

2. a) La suite (wn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, wn+1 = q wn.

3. b) Déterminez d'abord l'expression de wn en fonction de n.

Partie B

2. a) Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10 %.

b) Résolvez une inéquation.

Partie C

3. a) n est le rang de l'année, G et F respectivement le nombre de garçons et le nombre de filles inscrits à l'association l'année n.

Corrigé

partie a

1. Calculer deux termes d'une suite

u1 = 0,5 × 350 + 100

u1=275

u2 = 0,5 × 275 + 100

u2=237,5

2. a) Montrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

wn+1 = un+1 - 200

wn+1=0,5 un+100200

wn+1=0,5 (wn+200)100

wn+1=0,5 wn+100100

wn+1=0,95 wn.

La suite (wn) est géométrique de raison 0,5, de premier terme w0=u0200=150.

b) Donner l'expression du terme général d'une suite

Pour tout entier naturel n :

wn=150×0,5n.

un = wn + 200

un=200+150×0,5n

partie b

1. Déterminer l'expression du terme général d'une suite

Puisque, chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente renouvellent leur adhésion, et que 100 nouvelles filles s'inscrivent, on a, pour tout entier naturel n :

Fn+1=0,5 Fn+100

notez bien

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10 % est égal à 1,1.

2. a) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

Pour tout entier naturel :

Gn+1=Gn+10×Gn100

Gn+1=Gn+0,1 Gn=1,1 Gn

Donc la suite (Gn) est géométrique de raison 1,1  son premier terme G0 est le nombre de garçons inscrits en 2015, soit 500 - 350.

Donc G0 = 150 et, pour tout entier naturel n :

Gn=150×1,1n

b) Déterminer l'indice du premier terme d'une suite dépassant une valeur donnée

On cherche le plus petit entier naturel n tel que 150×1,1n300, c'est-à-dire 1,1n2. Puisque la fonction ln est croissante sur ]0  + [, cette inégalité équivaut successivement à :

nln(1,1)ln2

nln2ln(1,1) car ln(1,1)>0. Or ln2ln(1,1)7,27 et n est entier.

Le club comptera pour la première fois plus de 300 garçons au bout de huit ans, c'est-à-dire en 2023.

3. a) Compléter un tableau résumant un algorithme

Valeur de n

0

1

2

3

4

Valeur de G

150

165

182

200

220

Valeur de F

350

275

238

219

209

Condition G F

vrai

vrai

vrai

vrai

FAUX

b) Déterminer et interpréter le résultat affiché par un algorithme

L'algorithme affiche 4. Dans l'association, le nombre des garçons dépassera celui des filles au bout de quatre ans, c'est-à-dire en 2019.

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