Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique
 
 

Suites numériques

Corrigé

7

Ens. spécifique

matT_1306_07_07C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Soit la suite numérique (un) définie sur par :

u0= 2 et pour tout entier naturel n, .

>1.a) Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2 près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

>2.a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un ≤ n + 3.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

.

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

>3. On désigne par (vn) la suite définie sur par vn=un − n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison .

b) En déduire que pour tout entier naturel n,

.

c) Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

et .

a) Exprimer Sn en fonction de n.

b) Déterminer la limite de la suite (Tn).

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Raisonnement par récurrence  E1 2. a)
  • Généralités sur les suites  E2 1., 2. et 3.
  • Étude d’une suite géométrique  E4 3. et 4.
  • Suite arithmétique et somme  E3e  → 4. a)

Nos coups de pouce

>4. a) Pensez à décomposer la somme proposée en deux sommes : l’une est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, l’autre est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Appliquez alors les formules permettant de calculer de telles sommes.

>4. b) Simplifiez dans un premier temps l’expression de , puis calculez la limite demandée à l’aide des opérations sur les limites de suites.

 
Corrigé

>1.a) Calculer des termes d’une suite définie par une ­relation de ­récurrence

.

En arrondissant à deux décimales, on obtient :

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

La suite proposée semble croissante.

>2.a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

et donc . La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k+ 1) est vérifiée.

On a d’après l’hypothèse de récurrence.

Ensuite .

Finalement .

La propriété P(k+ 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : et (question 2. a)).

Donc .

Ainsi, pour tout entier naturel n, . La suite est donc croissante.

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

La suite est donc une suite géométrique de raison .

b) Déterminer la forme explicite d’une suite

La suite est une suite géométrique de raison donc, pour tout entier naturel n : .

On a donc : mais comme , on en déduit que, pour tout entier naturel n : .

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , on obtient . Or . Par produit et somme, on en déduit que : .

>4.a) Calculer une somme de termes d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

b) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Comme , on obtient . De plus, et .

Par différence, produit et somme, on a finalement .