▶ 1. a) Calculer des termes d'une suite définie par une ­relation de ­récurrence

$u_1=\frac{2}{3}{u}_0+\frac{1}{3}\times 0+1=\frac{2}{3}\times 2+1=\frac{7}{3}$

$u_2=\frac{2}{3}{u}_1+\frac{1}{3}\times 1+1=\frac{2}{3}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{3}+1=\frac{26}{9}$

$u_3=\frac{2}{3}{u}_2+\frac{1}{3}\times 2+1=\frac{2}{3}\times \frac{26}{9}+\frac{2}{3}+1=\frac{97}{27}$

$u_4=\frac{2}{3}{u}_3+\frac{1}{3}\times 3+1=\frac{2}{3}\times \frac{97}{27}+2=\frac{356}{81}$.

En arrondissant à deux décimales, on obtient : $u_1\approx \mathrm{2,33}$ ; $u_2\approx \mathrm{2,89}$ ; $u_3\approx \mathrm{3,59}$ ; $u_4\approx \mathrm{4,40}$.

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d'une suite

La suite proposée semble croissante.

▶ 2. a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : $u_n\text{≤}n+3$.

Initialisation

$u_0=2$ et $0+3=3$ donc $u_0\text{≤}0+3$. La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k + 1) est vérifiée.

On a $u_{k+1}=\frac{2}{3}{u}_k+\frac{1}{3}k+1\text{≤}\frac{2}{3}(k+3)+\frac{1}{3}k+1$ d'après l'hypothèse de récurrence.

Ensuite $\frac{2}{3}(k+3)+\frac{1}{3}k+1=\frac{2}{3}k+\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}k+1=k+3\text{≤}(k+1)+3$.

Finalement $u_{k+1}\text{≤}(k+1)+3$.

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l'axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, $u_n\text{≤}n+3$.

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{c}{u}_{n+1}-u_n=\frac{2}{3}{u}_n+\frac{1}{3}n+1-u_n=-\frac{1}{3}{u}_n+\frac{1}{3}n+1\\ =\frac{1}{3}(-u_n+n+3)=\frac{1}{3}(n+3-u_n).\end{array}$

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(n+3-u_n)$ et $u_n\text{≤}n+3$ (question 2. a)). Donc $n+3-u_n\text{≥}0$. Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n\text{≥}0$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.

▶ 3. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{c}{v}_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac{2}{3}{u}_n+\frac{1}{3}n+1-n-1=\frac{2}{3}{u}_n-\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}(u_n-n)\\ v_{n+1}=\frac{2}{3}{v}_n.\end{array}$

La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\frac{2}{3}$.

b) Déterminer la forme explicite d'une suite

La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{2}{3}$ donc, pour tout entier naturel n : $v_n=v_0\times q^n\text{ avec }{v}_0=u_0-0=2$.

On a donc : $v_n=2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ mais comme $v_n=u_n-n\iff u_n=v_n+n$, on en déduit que, pour tout entier naturel n : $u_n=2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+n$.

c) Déterminer la limite d'une suite

Comme , on obtient $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$. Or $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$. Par produit et somme, on en déduit que : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

▶ 4. a) Calculer une somme de termes d'une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

$\begin{array}{c}{S}_n=\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0+u_1+\dots +u_n\\ =2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^0+0+2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^1+1+\dots +2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^n+n\\ =\left(0+1+\dots +n\right)+2\times \left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^0+{\left(\frac{2}{3}\right)}^1+\dots +{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]\\ =\frac{n\left(n+1\right)}{2}+2\times \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{1-\left(\frac{2}{3}\right)}\\ =\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+2\times \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+6\times \left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}\right].\end{array}$

b) Déterminer la limite d'une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

$\begin{array}{c}{T}_n=\frac{{\text{S}}_n}{n^2}=\frac{1}{n^2}\times \left(\frac{1}{2}n(n+1)+6\times \left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}\right]\right)\\ =\frac{n+1}{2n}+\frac{6}{n^2}\times \left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}\right]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{6}{n^2}\times \left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}\right].\end{array}$

Comme , on obtient $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}=0$. De plus, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2n}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{6}{n^2}=0$.

Par différence, produit et somme, on a finalement $\underset{n\to +\infty }{\lim }{T}_n=\frac{1}{2}$.