Annale corrigée Exercice

Etude d'une suite définie par récurrence à l'aide d'une suite géométrique

Suites numériques

Étude d'une suite définie par récurrence à l'aide d'une suite géométrique

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  On se sert d'une suite auxiliaire géométrique pour déterminer les limites de suites définies par récurrence et par sommes de termes consécutifs.

Soit la suite numérique (un) définie sur par :

u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1=23un+13n+1.

 1. a) Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2 près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un ≤ n + 3.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un+1un=13(n+3un).

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

 3. On désigne par (vn) la suite définie sur par vn = un − n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 23.

b) En déduire que pour tout entier naturel n,

un=223n+n.

c) Déterminer la limite de la suite (un).

 4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

Sn=k=0nuk=u0+u1++un et Tn=Snn2.

a) Exprimer Sn en fonction de n.

b) Déterminer la limite de la suite (Tn).

Les clés du sujet

4. a) Pensez à décomposer la somme proposée en deux sommes : l'une est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, l'autre est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique. Appliquez alors les formules permettant de calculer de telles sommes.

b) Simplifiez dans un premier temps l'expression de Tn, puis calculez la limite demandée à l'aide des opérations sur les limites de suites.

 1. a) Calculer des termes d'une suite définie par une ­relation de ­récurrence

u1=23u0+13×0+1=23×2+1=73

u2=23u1+13×1+1=23×73+13+1=269

u3=23u2+13×2+1=23×269+23+1=9727

u4=23u3+13×3+1=23×9727+2=35681.

En arrondissant à deux décimales, on obtient : u12,33 ; u22,89 ; u33,59 ; u44,40.

b) Émettre une conjecture sur le sens de variation d'une suite

La suite proposée semble croissante.

 2. a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : unn+3.

Initialisation

u0=2 et 0+3=3 donc u00+3. La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité

On suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(+ 1) est vérifiée.

On a uk+1=23uk+13k+123(k+3)+13k+1 d'après l'hypothèse de récurrence.

Ensuite 23(k+3)+13k+1=23k+23×3+13k+1=k+3(k+1)+3.

Finalement uk+1(k+1)+3.

La propriété P(+ 1) est donc vérifiée.

Conclusion

De l'axiome de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, unn+3.

b) Démontrer une égalité

Pour tout entier naturel n :

un+1un=23un+13n+1un=13un+13n+1=13(un+n+3)=13(n+3un).

c) Valider une conjecture

Pour tout entier naturel n : un+1un=13(n+3un) et unn+3 (question 2. a)). Donc n+3un0. Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1un0. La suite (un) est donc croissante.

 3. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+1(n+1)=23un+13n+1n1=23un23n=23(unn)vn+1=23vn.

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison q=23.

b) Déterminer la forme explicite d'une suite

La suite (vn) est une suite géométrique de raison q=23 donc, pour tout entier naturel : vn=v0×qn avec v0=u00=2.

On a donc : vn=2×23n mais comme vn=unn un=vn+n, on en déduit que, pour tout entier naturel : un=2×23n+n.

c) Déterminer la limite d'une suite

Comme 1231, on obtient limn+23n=0. Or limn+n=+. Par produit et somme, on en déduit que : limn+un=+.

 4. a) Calculer une somme de termes d'une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Sn=k=0nuk=u0+u1++un=2×230+0+2×231+1++2×23n+n=0+1++n+2×230+231++23n=nn+12+2×123n+1123=12nn+1+2×123n+113=12nn+1+6×123n+1.

b) Déterminer la limite d'une suite

Pour tout entier naturel n non nul :

Tn=Snn2=1n2×12n(n+1)+6×123n+1=n+12n+6n2×123n+1=12+12n+6n2×123n+1.

Comme 1231, on obtient limn+23n+1=0. De plus, limn+12n=0 et limn+6n2=0.

Par différence, produit et somme, on a finalement limn+Tn=12.

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