Annale corrigée Exercice Ancien programme

Étude d'une suite évolution du nombre de participants à une course

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Étude d'une suite  évolution du nombre de participants à une course

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Soit la suite (un) définie par u0 = 150 et pour tout entier naturel :

un+1 = 0,8 un + 45.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. Voici deux propositions d'algorithmes :

011_matT_1704_12_02C_algo_001

a) Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel n tel que un  220. Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas. (1 point)

b) Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ? (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 225.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. (1 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel n :

un=22575×0,8n. (1 point)

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.

On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

20 % des participants ne reviennent pas l'année suivante 

45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse. (1 point)

Les clés du sujet

2. a) L'algorithme doit calculer les termes successifs de la suite tant qu'ils ne remplissent pas la condition un  220.

3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

b) Déterminez d'abord l'expression de vn en fonction de n.

4. b) Traduisez le problème par une inéquation et résolvez-la.

Corrigé

1. Calculer deux termes d'une suite

u1 = 0,8 × 150 + 45 = 165 et u2 = 0,8 × 165 + 45 = 177, d'où :

u1=165  u2=177

2. a) Reconnaître un algorithme affichant un résultat attendu

Pour calculer le plus petit entier naturel n tel que un  220, l'algorithme doit calculer les termes successifs de la suite (un) tant que ces termes sont inférieurs à 220, et s'arrêter au premier terme qui atteint ou dépasse ce nombre.

Or l'algorithme 1 effectue le calcul tant que U est supérieur ou égal à 220  la valeur initiale de U étant 150, l'algorithme n'effectue aucun calcul, lors de son exécution on n'entre pas dans la boucle « Tant que ».

L'algorithme qui permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel n tel que un220 est l'algorithme 2.

b) Donner la valeur numérique affichée par un algorithme

Si on fait fonctionner l'algorithme précédent, la valeur obtenue en sortie est 13.

On peut vérifier en calculant une valeur approchée des premiers termes de la suite (un) :

u12 219,846 et u13 220,877.

La valeur numérique affichée par l'algorithme 2 est donc 13.

13 est l'indice du premier terme de la suite dont la valeur atteint ou dépasse 220.

3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 225

vn+1 = 0,8 un + 45 - 225

vn+1 = 0,8 un - 180

vn+1=0,8 (vn+225)180

vn+1 = 0,8 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est v0=u0225=75.

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

Pour tout entier naturel, vn=75×0,8n et un = vn + 225.

Donc pour tout entier naturel :

un=22575×0,8n

4. Déterminer si une valeur est atteinte ou non par les termes d'une suite

Soit un le nombre de participants à la course l'année 2015 + n.

u0 = 150 (il y avait 150 participants en 2015) et, pour tout entier naturel n :

un+1 = un - 0,2 un + 45 = 0,8 un + 45.

D'après les questions précédentes, pour tout entier naturel :

un=22575×0,8n.

Donc un  225, donc un  250.

Le nombre de participants reste toujours strictement inférieur à 250.

Donc les organisateurs n'auront pas à refuser des inscriptions dans les années à venir.

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