Étude d’une suite ; évolution du nombre de participants à une course

Soit la suite (un) définie par u0 = 150 et pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,8 un + 45.

▶ 1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

▶ 2. Voici deux propositions d’algorithmes :

a) Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel n tel que un ≥ 220. Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas. (1 point)

b) Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ? (0,5 point)

▶ 3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 225.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. (1 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel n :

$u_n=225-75\times {\mathrm{0,8}}^n$. (1 point)

▶ 4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.

On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :

20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante ;

45 nouveaux participants s’inscrivent à la course.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse. (1 point)