Étude d’une suite ; évolution du nombre de participants à une course

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Étude d’une suite ; évolution du nombre de participants à une course

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Soit la suite (un) définie par u0 = 150 et pour tout entier naturel :

un+1 = 0,8 un + 45.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. Voici deux propositions d’algorithmes :

011_matT_1704_12_02C_algo_001

a) Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel n tel que un  220. Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas. (1 point)

b) Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ? (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 225.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. (1 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel n :

un=22575×0,8n. (1 point)

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.

On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :

20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante ;

45 nouveaux participants s’inscrivent à la course.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse. (1 point)

Les clés du sujet

2. a) L’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite tant qu’ils ne remplissent pas la condition un  220.

3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

b) Déterminez d’abord l’expression de vn en fonction de n.

4. b) Traduisez le problème par une inéquation et résolvez-la.