Étude d’une suite à l’aide d’un algorithme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude d’une suite à l’aide d’un algorithme
 
 

Suites numériques

Corrigé

10

Ens. spécifique

matT_1306_01_07C

 

Afrique • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un) définie par son premier terme et la relation de récurrence : .

Partie A

Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme u9 de la suite, un élève propose l’algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.

 

Variables

n est un entier naturel

u est un réel

Initialisation

Affecter à n la valeur 1

Affecter à u la valeur 1,5

Traitement

Tant que n< 9

Affecter à u la valeur …

Affecter à n la valeur …

Fin Tant que

Sortie

Afficher la variable u

 

>1. Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.

>2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2 jusqu’à u9 ?

>3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

 

n

1

2

3

4

5

6

99

100

un

1,5

0,625

0,375

0,2656

0,206 3

0,169 3

0,010 2

0,010 1

 

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).

Partie B

Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire (vn) par :

pour tout entier n  1, vn=nun- 1.

>1. Montrer que la suite (vn) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

>2. En déduire que, pour tout entier naturel n  1, on a : .

>3. Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Justifier que, pour tout entier n  1, on a :

.

En déduire le sens de variation de la suite (un).

Partie C

Retour à l’algorithmique

En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que un< 0,001.

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes clés

Suites numériques • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Suites géométriques  E4a • E4b • E4d  → Partie B, 1., 2. et 3.
  • Suites et limites  E2c  → Partie B, 3.
  • Suites et variations  E2a  → Partie B, 4.

Nos coups de pouce

Partie A

>1. Utilisez la définition de la suite en posant . N’oubliez pas la variable .

>2. Placez correctement l’instruction « afficher la variable  ».

Partie C

Définissez une boucle conditionnelle de type « Tant que  ». Pour la sortie de l’algorithme, n’oubliez pas qu’il vous faut afficher la variable .

Corrigé

Partie A

>1. Compléter un algorithme

Affecter à la valeur

Affecter à la valeur .

>2. Compléter un algorithme

On place l’instruction « afficher la variable u » de la façon suivante :

Tant que n < 9

Affecter à la valeur

Afficher la variable u

Affecter à la valeur

Fin Tant que.

>3. Conjecturer les variations et la convergence d’une suite

La suite semble être décroissante et converger vers 0.

Partie B

>1. Démontrer qu’une suite est géométrique

Soit n un entier naturel tel que .

, or , d’où :

Pour conclure, on obtient pour tout entier  : .

Enfin .

La suite (vn) est donc géométrique de raisonq= 0,5 et de premier terme.

>2. Exprimer le terme général un d’une suite en fonction de n

 

Attention !

Lorsque la suite est géométrique de raison q, on a plus généralement pour tout couple d’entiers n et p : .

Pour tout entier , on a d’une part : . (Car la suite est géométrique de raison q= 0,5 et de premier terme .)

D’autre part, de l’égalité , on déduit que pour tout entier .

Par conséquent, on a pour tout entier:.

>3. Déterminer la limite d’une suite

On sait que car lorsque .

On en déduit que . Or .

Il s’ensuit par produit que.

>4. Étudier les variations d’une suite

Soit n un entier tel que . On sait, d’après le résultat établi à la question 2., que . On en déduit les égalités suivantes :

 

Notez bien

On a réduit les deux rapports à un même dénominateur.

Or, . On en déduit que :

Et pour finir, pour tout entier, on a :< 0.

La suiteest donc décroissante.

Partie C

Écrire un algorithme

On reprend l’algorithme donné dans l’énoncé et on modifie la partie traitement et la sortie :

 

Traitement

Tant que

Affecter à la valeur

Affecter à la valeur

Fin tant que

Sortie

Afficher la variable n