Terminale générale Mathématiques Suites

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Sujet complet 1 • Exercice 4A

matT_2100_07_03C

Sujet spécimen 2021 n° 1 • Exercice 4A

Étude d'une suite à l'aide d'un tableur et d'une suite auxiliaire

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, on étudie plusieurs propriétés d'une suite par diverses méthodes. Le sens de variation est conjecturé à partir de résultats donnés par un tableur. On utilise ensuite une démonstration par récurrence pour prouver la conjecture et étudier la convergence de la suite. Enfin, l'introduction d'une suite auxiliaire permet de donner une expression du terme général.

La suite (u_n) est définie sur ℕ par u₀ = 1 et pour tout entier naturel n,

$u_{n + 1} = \frac{3}{4} u_{n} + \frac{1}{4} n + 1$ .

▶ 1. Calculer, en détaillant les calculs, u₁ et u₂ sous forme de fraction irréductible.

L'extrait, reproduit ci-dessous, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite (u_n).

ID matT_2100_07_03C

▶ 2. a) Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de (u_n) dans la colonne B ?

b) Conjecturer le sens de variation de la suite (u_n).

▶ 3. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

n ≤ u_n ≤ n + 1.

b) En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite (u_n).

c) Démontrer que :

$\lim_{n \to + ∞} \frac{u_{n}}{n} = 1$ .

▶ 4. On désigne par (v_n) la suite définie sur ℕ par v_n = u_n - n.

a) Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison $\frac{3}{4}$ .

b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = {(\frac{3}{4})}^{n} + n$ .

Les clés du sujet

▶ 2. a) Dans la feuille de calcul, les valeurs de n sont dans la colonne A, celles de u_n dans la colonne B.

▶ 3. b) Étudiez le signe de u_n₊₁ - u_n ; puis utilisez un théorème de comparaison pour déterminer la limite de la suite.

c) Utilisez le théorème des gendarmes.

▶ 4. a) Montrez qu'il existe un réel q tel que, pour tout n dans ℕ, u_n₊₁ = q u_n.

▶ 1. Calculer deux termes d'une suite

$u_{1} = \frac{3}{4} u_{0} + \frac{1}{4} \times 0 + 1$ , donc $u_{1} = \frac{3}{4} + 1$ , soit $u_{1} = \frac{7}{4}$ .

$u_{2} = \frac{3}{4} u_{1} + \frac{1}{4} \times 1 + 1 = \frac{3}{4} \times \frac{7}{4} + \frac{5}{4}$ , donc $u_{2} = \frac{21}{16} + \frac{20}{16}$ , soit $u_{2} = \frac{41}{16}$ .

▶ 2. a) Déterminer une formule à saisir dans une cellule d'une feuille de calcul

Pour obtenir dans la colonne B les termes successifs de la suite (u_n), on peut saisir dans la cellule B3 la formule $= \frac{3}{4} * B 2 + \frac{1}{4} * A 2 + 1$ , puis étirer cette formule vers le bas.

b) Conjecturer le sens de variation d'une suite

À partir des résultats donnés par le tableur, on peut conjecturer que la suite $(u_{n})$ est croissante.

▶ 3. a) Prouver par récurrence un encadrement d'un terme d'une suite

Le conseil de méthode

Pour montrer à l'aide d'une démonstration par récurrence qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n ≥ n₀, il y a trois étapes :

Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour l'entier naturel n₀.

Hérédité : on montre que si n est un entier naturel supérieur ou égal à n₀ pour lequel la propriété est vraie, alors la propriété est vraie aussi pour l'entier n + 1.

Conclusion : on conclut, d'après les deux résultats précédents, que la propriété est vraie pour tout entier naturel n ≥ n₀.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : n ≤ u_n ≤ n + 1.

Initialisation

u₀ = 1, donc 0 ≤ u₀ ≤ 0 + 1 ; la propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que n ≤ u_n ≤ n + 1.

Alors $\frac{3}{4} n \leq \frac{3}{4} u_{n} \leq \frac{3}{4} (n + 1)$ , soit $\frac{3}{4} n \leq \frac{3}{4} u_{n} \leq \frac{3}{4} n + \frac{3}{4}$ .

En ajoutant $\frac{1}{4} n$ , on en déduit : $n \leq \frac{3}{4} u_{n} + \frac{1}{4} n \leq n + \frac{3}{4}$ ; puis en ajoutant 1 :

$n + 1 \leq \frac{3}{4} u_{n} + \frac{1}{4} n + 1 \leq n + \frac{3}{4} + 1$ ,

soit :

$n + 1 \leq u_{n + 1} \leq n + \frac{3}{4} + 1,$

qui entraîne :

n + 1 ≤ u_n₊₁ ≤ n + 1 + 1.

Donc la propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n.

Conclusion

Des résultats précédents, on déduit que, pour tout entier naturel n : n ≤ u_n ≤ n + 1.

b) Déterminer le sens de variation et la limite d'une suite

Pour tout entier naturel n :

n + 1 ≤ u_n₊₁ ≤ n + 2 et n ≤ u_n ≤ n + 1, donc - n - 1 ≤- u_n ≤- n.

En additionnant deux inégalités : 0 ≤ u_n₊₁ - u_n ≤ 2.

Puisque u_n₊₁ - u_n ≥ 0 pour tout n, la suite $(u_{n})$ est croissante.

Par ailleurs, $\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ , donc par comparaison, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

c) Déterminer la limite d'une suite

D'après la question 3. a), pour tout entier naturel non nul n : $\frac{n}{n} \leq \frac{u_{n}}{n} \leq \frac{n + 1}{n}$ , soit :

$1 \leq \frac{u_{n}}{n} \leq 1 + \frac{1}{n}$ .

Or $\lim_{n \to + ∞} \frac{1}{n} = 0$ , donc $\lim_{n \to + ∞} (1 + \frac{1}{n}) = 1 .$

D'après le théorème des gendarmes :

$\lim_{n \to + ∞} \frac{u_{n}}{n} = 1$ .

▶ 4. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{l} v_{n + 1} = u_{n + 1} - (n + 1) \\ v_{n + 1} = \frac{3}{4} u_{n} + \frac{1}{4} n + 1 - n - 1 \\ v_{n + 1} = \frac{3}{4} u_{n} - \frac{3}{4} n \\ v_{n + 1} = \frac{3}{4} v_{n} . \end{array}$

On en déduit que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{3}{4}$ .

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

remarque

$\lim_{n \to + \infty} {(\frac{3}{4})}^{n} = 0$ car $- 1 \frac{3}{4} 1$ . On retrouve $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ (résultat démontré en 3. b).

On peut aussi en déduire la limite de $\frac{u_{n}}{n}$ .

Puisque la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{3}{4}$ , alors, pour tout entier naturel n :

$v_{n} = v_{0} {(\frac{3}{4})}^{n}$ .

Or v₀ = u₀ = 1, donc $v_{n} = {(\frac{3}{4})}^{n}$ et u_n = v_n + n, soit : $u_{n} = {(\frac{3}{4})}^{n} + n$ .