Étude de deux fonctions et aire d’un motif décoratif

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 3 • 6 points • 50 min

Étude de deux fonctions et aire d’un motif décoratif

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégrale, calcul d’aires.

 

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.

Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions f et g définies, pour tout réel x de [0 ; 1], par :

f(x)=(1x) e3x et g(x)=x22x+1.

Leurs courbes représentatives seront notées respectivement Cf et Cg.

matT_1706_07_00C_02

partie a

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

 

dériver((1-x)*exp(3x))

  

: -3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x)

 

factoriser(-3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x))

  

: exp(3x)*(-3x+2)

 

factoriser(dériver(exp(3x)*(-3x+2)))

  

: 3*exp(3*x)(1-3x)

Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par :

f(x)=3x e3x+2 e3x

ce qui, après factorisation, donne f(x)=(3x +2) e3x.

1. Étudier sur [0 ; 1] le signe de la fonction dérivée f, puis donner le tableau de variations de f sur [0 ; 1] en précisant les valeurs utiles. (1 point)

2. La courbe Cf possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées. (1 point)

partie b

On se propose de calculer l’aire de la partie colorée sur le graphique.

1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbes Cf et Cg. (0,5 point)

2. On admet que pour tout x dans [0 ; 1] :

f(x)g(x)=(1x)(e3x1+x).

a) Justifier que pour tout x dans [0 ; 1], e3x10. (0,5 point)

b) En déduire que pour tout x dans [0 ; 1], e3x1+x0. (0,5 point)

c) Étudier le signe de f(x)g(x) pour tout x dans [0 ; 1]. (0,5 point)

3. a) Calculer 01g(x) dx. (1 point)

b) On admet que :

01f(x) dx=e349.

Calculer l’aire S, en unité d’aire, de la partie colorée. Arrondir le résultat au dixième. (1 point)

Les clés du sujet

Partie A

2. Cf a un point d’inflexion d’abscisse a si et seulement si f s’annule et change de signe en a.

Partie B

3. b) S est une « aire entre deux courbes ». Utilisez la question 2.c) pour écrire S comme une intégrale.