Corrigé

partie A

▶ 1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Pour calculer un terme de la suite (un), il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme u1 qui est égal à 2u0−0+3. Le terme u0 est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « =2*B2-A2+3 ».

Pour calculer un terme de la suite (vn), il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme v1 qui est égal à 21. Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « =2^A3 ».

▶ 2. Conjecturer des limites  E2e 

Plus le rang n augmente, plus le terme un augmente. La suite (un) serait croissante. Mais cette suite ne semble pas majorée. En effet, approximativement, on obtient un terme à partir du précédent en multipliant par deux. Ainsi, la limite de la suite (un) serait +∞.

On a : u10v10=30801024≈3,008  u11v11=61532048≈3,004  u12v12=122984096≈3,002  u13v13=245878192≈3,001. Le rapport unvn semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang n augmente.

Ainsi, la limite de la suite (unvn) serait 3.

partie B

▶ 1. Démontrer une propriété par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : un=3×2n+n−2.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation : pour n=0, u0=1 et 3×20+0−2=3−2=1. Donc P(0) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné : uk=3×2k+k−2.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons :

uk+1=2uk−k+3=2×(3×2k+k−2)−k+3(hypothèse de récurrence)=3×2k×2+2k−4−k+3=3×2k+1+k−1=3×2k+1+(k+1)−2.

La propriété P(k+1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n, un=3×2n+n−2.

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite  E2c • E4b • E4d 

Par la question précédente, pour tout entier naturel n, le terme un est la somme du terme d'une suite géométrique et de l'entier n−2. Cette suite géométrique est de premier terme 3 et de raison 2. Comme ce premier terme est strictement positif et que cette raison est strictement supérieure à 1, on a : limn→+∞3×2n=+∞. De plus, par somme, on a : limn→+∞n−2=+∞ et donc limn→+∞un=+∞.

▶ 3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte  E2a 

On a pour n = 17 : u17 = 3 × 217 + 17 – 2 = 393 231

pour n = 18 :

u18 = 3 × 218 + 18 – 2 = 786 448

u18 

pour n = 19 :

u19 = 3 × 219 + 19 – 2 = 1 572 881

u19 > 1 000 000

Le rang du premier terme de la suite (un) supérieur à 1 million est 19.

partie C

▶ 1. Déterminer les variations d'une suite  E2a 

Pour tout entier naturel n :

un+1vn+1−unvn=3×2n+1+(n+1)−22n+1−3×2n+n−22n=(3×2n+1+n−1)−(3×2n+n−2)×22n+1=n−1−2n+42n+1=−n+32n+1.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a 2n+1 > 0 et – n + 3 ≤ 0. Par suite, pour tout entier naturel n≥3, la différence un+1vn+1−unvn est négative ce qui est équivalent à un+1vn+1≤unvn.

La suite (unvn) est donc décroissante à partir de l'indice 3.

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite  E2c • E2d 

On a, pour tout entier naturel n :

unvn=3×2n+n−22n=3×2n2n+n2n−22n=3+n2n−12n−1.

À partir de l'indice 4, d'après l'énoncé, on a :

Comme limn→+∞1n=0, on a, par le théorème des gendarmes : limn→+∞n2n=0. De plus, limn→+∞12n−1=0. Par somme et différence, on en conclut que : limn→+∞unvn=3.