Etude de deux suites

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Étude de deux suites

Les thèmes clés

Suites numériques • Tableur

 

On considère deux suites (un) et (vn) :

la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel :

un+1 = 2un n + 3 ;

la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-après.

matT_1704_12_01C_08

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_09

Conjecturer les limites des suites (un) et (unvn).

Partie B : Étude de la suite (un)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite de la suite (un).

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite (unvn)

1. Démontrer que la suite (unvn) est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0<n2n1n. Déterminer la limite de la suite (unvn).

Les clés du sujet

Partie A

2. Calculez une valeur approchée au millième du quotient unvn pour les rangs 10 à 13. Conjecturez ensuite la limite de la suite (unvn).

Partie B

3. Observez dans la partie A que le terme u13 n’est pas supérieur à un million puis procédez par balayage pour déterminer le rang demandé.

Partie C

1. Étudiez le signe de la différence un+1vn+1unvn.

2. Pensez au théorème des gendarmes.