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Etude de deux suites

Suites numériques

Étude de deux suites

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Commencez par conjecturer les limites de suites numériques à l'aide d'un tableur, puis démontrez ces conjectures.

 

On considère deux suites (un) et (vn) :

la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel :

un+1 = 2un n + 3 ;

la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-après.

matT_1704_12_01C_08

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_09

Conjecturer les limites des suites (un) et unvn.

Partie B : Étude de la suite (un)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite de la suite (un).

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite unvn

1. Démontrer que la suite unvn est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0n2n1n. Déterminer la limite de la suite unvn.

Les clés du sujet

Partie A

2. Calculez une valeur approchée au millième du quotient unvn pour les rangs 10 à 13. Conjecturez ensuite la limite de la suite unvn.

Partie B

3. Observez dans la partie A que le terme u13 n'est pas supérieur à un million puis procédez par balayage pour déterminer le rang demandé.

Partie C

1. Étudiez le signe de la différence un+1vn+1unvn.

2. Pensez au théorème des gendarmes.

Partie A

1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Pour calculer un terme de la suite (un), il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme u1 qui est égal à 2u00+3. Le terme u0 est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « =2*B2-A2+3 ».

Pour calculer un terme de la suite (vn), il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme v1 qui est égal à 21. Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « =2^A3 ».

2. Conjecturer des limites

Plus le rang n augmente, plus le terme un augmente. La suite (un) serait croissante. Mais cette suite ne semble pas majorée. En effet, approximativement, on obtient un terme à partir du précédent en multipliant par deux. Ainsi, la limite de la suite (un) serait +.

On a : u10v10=3 0801 0243,008 ; u11v11=6 1532 0483,004 ; u12v12=12 2984 0963,002 ; u13v13=24 5878 1923,001. Le rapport unvn semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang n augmente.

Ainsi, la limite de la suite unvn serait 3.

Partie B

1. Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : un=3×2n+n2.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation : pour n=0,u0=1 et 3×20+02=32=1. Donc P(0) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné : uk=3×2k+k2.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons :

uk+1=2ukk+3=2×(3×2k+k2)k+3(hypothèse de récurrence)=3×2k×2+2k4k+3=3×2k+1+k1=3×2k+1+(k+1)2.

La propriété P(k+1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n,  un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite d'une suite

Par la question précédente, pour tout entier naturel n, le terme un est la somme du terme d'une suite géométrique et de l'entier n2. Cette suite géométrique est de premier terme 3 et de raison 2. Comme ce premier terme est strictement positif et que cette raison est strictement supérieure à 1, on a : limn+3×2n=+. De plus, par somme, on a : limn+n2=+et donc limn+un=+.

remarque

Cette démarche est possible car la limite de (un) est + et (un) est strictement croissante. En effet, pour tout entier naturel n :

un+1un=(3×2n+1+n+12)(3×2n+n2)=3×2n+1>0.

3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte

On a pour n = 17 : u17 = 3 × 217 + 17 – 2 = 393 231

pour n = 18 :

u18 = 3 × 218 + 18 – 2 = 786 448

u18 

pour n = 19 :

u19 = 3 × 219 + 19 – 2 = 1 572 881

u19 > 1 000 000

Le rang du premier terme de la suite (un) supérieur à 1 million est 19.

Partie C

1. Déterminer les variations d'une suite

Pour tout entier naturel n :

un+1vn+1unvn=3×2n+1+(n+1)22n+13×2n+n22n              =(3×2n+1+n1)(3×2n+n2)×22n+1              =n12n+42n+1=n+32n+1.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a 2n+1 > 0 et – n + 3 ≤ 0. Par suite, pour tout entier naturel n3, la différence un+1vn+1unvn est négative ce qui est équivalent à un+1vn+1unvn.

La suite unvn est donc décroissante à partir de l'indice 3.

2. Déterminer la limite d'une suite

On a, pour tout entier naturel n :

unvn=3×2n+n22n=3×2n2n+n2n22n=3+n2n12n1.

À partir de l'indice 4, d'après l'énoncé, on a : 0n2n1n.

Comme limn+1n=0, on a, par le théorème des gendarmes limn+n2n=0. De plus, limn+12n1=0.

Par somme et différence, on en conclut que limn+unvn=3.

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