Partie A

▶ 1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Pour calculer un terme de la suite $(u_n)$, il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme $u_1$ qui est égal à $2u_0-0+3.$ Le terme $u_0$ est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « $=\text{2*B2-A2+3}$ ».

Pour calculer un terme de la suite $(v_n),$ il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme $v_1$ qui est égal à $2^1.$ Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « $=2^\text{A3}$ ».

▶ 2. Conjecturer des limites

Plus le rang $n$ augmente, plus le terme $u_n$ augmente. La suite $(u_n)$ serait croissante. Mais cette suite ne semble pas majorée. En effet, approximativement, on obtient un terme à partir du précédent en multipliant par deux. Ainsi, la limite de la suite $(u_n)$ serait $+\infty$.

On a : $\frac{u_{10}}{v_{10}}=\frac{3080}{1024}\approx \mathrm{3,008}$ ; $\frac{u_{11}}{v_{11}}=\frac{6153}{2048}\approx \mathrm{3,004}$ ; $\frac{u_{12}}{v_{12}}=\frac{12298}{4096}\approx \mathrm{3,002}$ ; $\frac{u_{13}}{v_{13}}=\frac{24587}{8192}\approx \mathrm{3,001}.$ Le rapport $\frac{u_n}{v_n}$ semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang $n$ augmente.

Ainsi, la limite de la suite $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ serait 3.

Partie B

▶ 1. Démontrer une propriété par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $u_n=3\times 2^n+n-2$.

Démontrons par récurrence que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n.$

Initialisation : pour $n=0,$$u_0=1$ et $3\times 2^0+0-2=3-2=1$. Donc $P(0)$ est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété $P(k)$ soit vraie pour un entier naturel $k$ donné : $u_k=3\times 2^k+k-2$.

Démontrons que la propriété $P(k+1)$ est vraie. Nous avons :

$\begin{array}{c}{u}_{k+1}=2u_k-k+3\\ =2\times (3\times 2^k+k-2)-k+3\text{(hypothèse de récurrence)}\\ =3\times 2^k\times 2+2k-4-k+3\\ =3\times 2^{k+1}+k-1\\ =3\times 2^{k+1}+(k+1)-2.\end{array}$

La propriété $P(k+1)$ est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n, $u_n=3\times 2^n+n-2.$

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite

Par la question précédente, pour tout entier naturel $n,$ le terme $u_n$ est la somme du terme d'une suite géométrique et de l'entier $n-2.$ Cette suite géométrique est de premier terme 3 et de raison 2. Comme ce premier terme est strictement positif et que cette raison est strictement supérieure à 1, on a : $\underset{n\to +\infty }{\lim }3\times 2^n=+\infty$. De plus, par somme, on a : $\underset{n\to +\infty }{\lim }n-2=+\infty$et donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty .$

▶ 3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte

On a pour n = 17 : u₁₇ = 3 × 2¹⁷ + 17 – 2 = 393 231

pour n = 18 :

u₁₈ = 3 × 2¹⁸ + 18 – 2 = 786 448

u₁₈ 

pour n = 19 :

u₁₉ = 3 × 2¹⁹ + 19 – 2 = 1 572 881

u₁₉ > 1 000 000

Le rang du premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur à 1 million est 19.

Partie C

▶ 1. Déterminer les variations d'une suite

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{array}{l}\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}=\frac{3\times 2^{n+1}+(n+1)-2}{2^{n+1}}-\frac{3\times 2^n+n-2}{2^n}\\ =\frac{(3\times 2^{n+1}+n-1)-(3\times 2^n+n-2)\times 2}{2^{n+1}}\\ =\frac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}=\frac{-n+3}{2^{n+1}}.\end{array}$

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on a 2ⁿ⁺¹ > 0 et – n + 3 ≤ 0. Par suite, pour tout entier naturel $n\ge 3,$ la différence $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}$ est négative ce qui est équivalent à $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\le \frac{u_n}{v_n}.$

La suite $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est donc décroissante à partir de l'indice 3.

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite

On a, pour tout entier naturel n :

$\frac{u_n}{v_n}=\frac{3\times 2^n+n-2}{2^n}=\frac{3\times 2^n}{2^n}+\frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n}=3+\frac{n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}.$

À partir de l'indice 4, d'après l'énoncé, on a :

Comme $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$, on a, par le théorème des gendarmes $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=0.$ De plus, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2^{n-1}}=0$.

Par somme et différence, on en conclut que $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=3$.