Étude de deux triangles bien particuliers

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2017

Exercice 2 • 7 points

Étude de deux triangles bien particuliers

Pour illustrer l’exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée.

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Les points D, F, A et B sont alignés, ainsi que les points E, G, A et C.

De plus, les droites (DE) et (FG) sont parallèles.

1. Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.

2. Calculer la longueur du segment [AD]. En déduire la longueur du segment [FD].

3. Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Les clés du sujet

Points du programme

Réciproque du théorème de Pythagore • Théorème de Thalès et sa réciproque.

Nos coups de pouce

1. Utilise la réciproque du théorème de Pythagore.

2. Applique le théorème de Thalès.

3. Utilise la réciproque du théorème de Thalès.

Corrigé

Corrigé

1. Le plus grand côté du triangle AGF est [AF]. Donc si ce triangle est rectangle alors il est rectangle en G. Calculons :

AF2=52=25GF2=32=9GA2=42=16

Nous remarquons que 25 = 9 + 16 donc AF2=GF2+GA2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AFG est rectangle en G.

2. Les points A, F, D sont alignés dans le même ordre que les points A, G, E. De plus les droites (DE) et (FG) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire : ADAF=AEAG. Cette égalité peut encore s’écrire AD5=10,84 car AE=AG+GE=4+6,8=10,8.

Le « produit en croix » donne 4×AD=5×10,8, soit AD=5×10,84 ou encore AD = 13,5 cm.

Puisque les points A, F et D sont alignés et que F est sur le segment [AD], alors FD=ADAF.

Donc FD=13,55 et FD = 8,5 cm.

3. Calculons :

AFAB=56,25=0,8AGAC=45=0,8

Alors nous remarquons que AFAB=AGAC.

Les points F, A, B sont alignés dans le même ordre que les points G, A, C et de plus AFAB=AGAC.

rappel

Ne pas confondre un théorème et la réciproque du théorème.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.