Corrigé

▶ 1. Le plus grand côté du triangle AGF est [AF]. Donc si ce triangle est rectangle alors il est rectangle en G. Calculons :

$\begin{array}{l}{\text{AF}}^2=5^2=25\\ {\text{GF}}^2=3^2=9\\ {\text{GA}}^2=4^2=16\end{array}$

Nous remarquons que 25 = 9 + 16 donc ${\text{AF}}^2={\text{GF}}^2+{\text{GA}}^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AFG est rectangle en G.

▶ 2. Les points A, F, D sont alignés dans le même ordre que les points A, G, E. De plus les droites (DE) et (FG) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire : $\frac{\text{AD}}{\text{AF}}=\frac{\text{AE}}{\text{AG}}$. Cette égalité peut encore s'écrire $\frac{\text{AD}}{5}=\frac{\mathrm{10,8}}{4}$ car $\text{AE}=\text{AG}+\text{GE}=4+\mathrm{6,8}=\mathrm{10,8}$.

Le « produit en croix » donne $4\times \text{AD}=5\times \mathrm{10,8}$, soit $\text{AD}=\frac{5\times \mathrm{10,8}}{4}$ ou encore $\boxed{\text{AD = 13,5 cm}}$.

Puisque les points A, F et D sont alignés et que F est sur le segment [AD], alors $\text{FD}=\text{AD}-\text{AF}$.

Donc $\text{FD}=\mathrm{13,5}-5$ et $\boxed{\text{FD = 8,5 cm}}$.

▶ 3. Calculons :

$\begin{array}{l}\frac{\text{AF}}{\text{AB}}=\frac{5}{\mathrm{6,25}}=\mathrm{0,8}\\ \frac{\text{AG}}{\text{AC}}=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}\end{array}$

Alors nous remarquons que $\frac{\text{AF}}{\text{AB}}=\frac{\text{AG}}{\text{AC}}$.

Les points F, A, B sont alignés dans le même ordre que les points G, A, C et de plus $\frac{\text{AF}}{\text{AB}}=\frac{\text{AG}}{\text{AC}}$.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.