Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine

Conditionnement

matT_1309_04_09C

Ens. spécifique

26

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 1 • 5 points

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à  près.

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Deux roues sont disposées sur le stand d’un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.

La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.

La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu’elle s’arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.

Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu’elle s’arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

  • Si c’est le rouge, le joueur a perdu et la partie s’arrête.
  • Si c’est le bleu, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
  • Si c’est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.

Partie A

Le joueur fait une partie.

On note les événements suivants :

R : « Le repère de la première roue indique la couleur rouge » ;

B : « Le repère de la première roue indique la couleur bleue » ;

V : « Le repère de la première roue indique la couleur verte » ;

N : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire » ;

J : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune » ;

G : « Le joueur gagne un lot ».

>1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (1 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement . (0,75 point)

>3. Démontrer que la probabilité que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)

Partie B

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)

Partie C

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.

On note le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Déterminer :

>1. la probabilité  ; (0,75 point)

>2. la probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. La probabilité à calculer est celle de l’intersection de deux événements, c’est-à-dire la probabilité que les deux événements (ici B et J) soient réalisés. Utilisez l’arbre de la question précédente.

>3. Le joueur peut gagner un lot s’il a l’occasion de faire tourner la deuxième roue, c’est-à-dire si la première s’est arrêtée sur un secteur bleu ou sur un secteur vert.

Partie B

On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties « gagnantes » sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Construire un arbre pondéré pour décrire une situation probabiliste

La situation peut être décrite par l’arbre pondéré suivant :


>2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre :

>3. Calculer une probabilité

Le joueur gagne un lot si et seulement si la première roue s’arrête sur un secteur bleu et la deuxième sur un secteur jaune, ou bien si la première roue s’arrête sur un secteur vert et la deuxième sur un secteur noir.

Donc :

.

La probabilitéque le joueur gagne un lot est égale à 0,23.

Partie B

Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes.

L’expérience est un schéma de Bernoulli constitué de la répétition de 4 épreuves identiques et indépendantes ; si le succès est « le joueur gagne un lot », et si est la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées sur les quatre jouées, alors suit la loi binomiale de paramètres et .

La probabilité que le joueur gagne un seul lot sur les quatre parties est .

D’après les résultats du cours sur la loi binomiale :

.

Partie C

Notez bien

C’est un résultat du cours, car

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

suit la loi normale d’espérance et d’écart-type , donc d’après la calculatrice :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Puisque suit une loi à densité : et .

La probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end est .

. D’après la calculatrice :

Notez bien

Puisque suit une loi normale d’espérance 45 : .