Étude de l’efficacité d’un test de dépistage

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude de l’efficacité d’un test de dépistage

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

29

Ens. spécifique

matT_1300_00_00C

Sujet inédit

Exercice 3 • 5 points

Une maladie touche 20 % de la population d’une ville.

Lors d’un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique qui a les caractéristiques suivantes :

  • lorsque la personne est malade, la probabilité d’avoir un test positif est 0,85.
  • lorsque la personne n’est pas malade, la probabilité d’avoir un test négatif est 0,95.

On choisit une personne au hasard dans cette population.

On note T l’événement « la personne a un test positif à cette maladie » et M l’événement « la personne est atteinte de cette maladie ».

>1.a) En utilisant les données de l’énoncé, donner les probabilités et .

b) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :


c) Montrer que la probabilité de l’événement T est égale à 0,21.

>2. On appelle valeur prédictive positive du test, la probabilité qu’une personne soit malade sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque cette probabilité est supérieure à 0,95.

a) Calculer la valeur prédictive positive de ce test. Ce test est-il efficace sur la population étudiée ?

b)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Étudier l’efficacité du test lorsque 60 % des personnes d’une ville sont touchées par cette maladie.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

>1.c) Utilisez l’arbre complété à la question précédente.

>2. Les probabilités à calculer sont des probabilités conditionnelles.

Corrigé

>1.a) Déterminer les probabilités p(M), et

Notez bien

Si T est l’événement « la personne a un test positif à la maladie », alors est l’événement « la personne a un test négatif à la maladie » ; est l’événement contraire de T.

On considère que la maladie touche 20 % de la population de la ville ; on assimile la proportion de personne malades et la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit malade, donc :

est la probabilité qu’une personne malade ait un test positif ; d’après l’énoncé :

est la probabilité qu’une personne non malade ait un test négatif, donc d’après l’énoncé :

b) Compléter un arbre pondéré résumant une situation probabiliste


c) Calculer la probabilité de l’événement T

Notez bien

est la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un test positif à la maladie.

M et constituent une partition de l’univers, donc la probabilité de l’événement T est :

>2.a) Calculer une probabilité conditionnelle représentant la valeur prédictive positive d’un test

Notez bien

Le résultat obtenu signifie que la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit réellement malade est environ 0,81.

D’après la définition, la valeur prédictive positive du test est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

0,81 < 0,95 ; la valeur prédictive positive du test est inférieure à 0,95.

Donc ce test n’est pas efficace sur la population étudiée.

b) Étudier l’efficacité du test

Si la maladie touche 60 % des personnes :

.

 à  près.

Notez bien

Ces calculs montrent que l’efficacité du test dépend de la proportion d’individus malades dans la population. Le test est d’autant plus efficace que cette proportion est élevée.

Dans ce cas, la valeur prédictive positive du test, c’est-à-dire la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit réellement malade, est supérieure à 0,95.

Donc le test est efficace.