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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2
SPRINT FINAL
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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2 Exercice 2
Étude de l’évolution d’une population d’insectes
Intérêt du sujet • On étudie dans cet exercice deux modélisations de l’évolution d’une population d’insectes. Le premier modèle suppose l’absence de tout prédateur, le second modèle tient compte des contraintes du milieu naturel.
Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.
Au début de l’étude, la population est de 100 000 insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000.
Partie a • étude d’un premier modèle en laboratoire
L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 60 % chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite (un) où, pour tout entier naturel n, un modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de n mois. On a donc u0 = 0,1.
▶ 1. Justifier que pour tout entier naturel n, .
▶ 2. Déterminer la limite de la suite (un).
▶ 3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel un > 0,4.
▶ 4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
Partie b • étude d’un second modèle
En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite (vn), définie par : v0 = 0,1 et, pour tout entier naturel n, , où, pour tout entier naturel n, vn est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de n mois.
▶ 1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
▶ 2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle par .
a) Résoudre l’équation f(x) = x.
b) Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle .
▶ 3. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
b) Montrer que la suite (vn) est convergente.
On note l la valeur de sa limite. On admet que l est solution de l’équation f(x) = x.
c) Déterminer la valeur de l. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
▶ 4. On donne ci‑dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.
a) Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?
b) Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).
Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 1. Déterminez la nature de la suite (un).
▶ 3. Utilisez la fonction ln et son sens de variation sur ]0 ; + ∞[.
▶ 4. N’oubliez pas que, pour préserver l’équilibre du milieu, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000 ; or un modélise le nombre d’insectes en millions au bout de n mois.
Partie B
▶ 3. a) Utilisez le résultat établi par récurrence à la question précédente.
▶ 4. a) Intéressez-vous à la condition dans la boucle « while » du programme.
Partie a • étude d’un premier modèle en laboratoire
▶ 1. Justifier l’expression du terme général d’une suite
Le nombre d’insecte augmente de 60 % chaque mois, donc, pour tout entier naturel n : .
On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison 1,6 ; son premier terme est u0 = 0,1.
Il en découle que, pour tout entier naturel n, .
mot clé
1,6 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 60 %.
▶ 2. Étudier la limite d’une suite
1,6 > 1, donc donc par produit :
.
▶ 3. Déterminer le plus petit entier naturel vérifiant une condition donnée
.
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, donc :
en divisant par . car 1,6 > 1.
Or et n est entier, donc un > 0,4 ⇔ n ≥ 3.
Le plus petit entier naturel n à partir duquel un > 0,4 est donc .
▶ 4. Déterminer si une condition est vérifiée
D’après la question précédente, à partir du troisième mois la population d’insectes dépasse 400 000 insectes ; l’équilibre du milieu naturel n’est donc pas préservé.
Partie b • étude d’un second modèle
▶ 1. Calculer un terme d’une suite
.
Selon ce modèle, il y aura 144 000 insectes au bout d’un mois.
▶ 2. a) Résoudre une équation
Donc , soit :
.
L’équation possède deux solutions : 0 et 0,375.
b) Étudier le sens de variation d’une fonction
Pour tout x dans : .
Or, , donc -1 ≤ - 2x ≤ 0 (en multipliant par - 2), puis 0 ≤ 1 - 2x ≤ 1 (en ajoutant 1).
Donc, pour tout x dans , .
f est croissante sur .
▶ 3. a) Montrer par récurrence une inégalité sur les termes d’une suite
v0 = 0,1 ; v1 = 0,144. Donc .
La propriété est vraie pour n = 0.
Soit n un entier naturel tel que .
Alors, puisque f est croissante sur , .
Or, , f(vn) = vn+1, et .
Donc .
La propriété est héréditaire.
La propriété étant vraie pour n = 0 et héréditaire, on en conclut que, pour tout entier naturel n, .
b) Montrer qu’une suite est convergente
D’après la question précédente, la suite (vn) est croissante et majorée par , donc, d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.
c) Déterminer la limite d’une suite
D’après la question 2. a), l’équation possède deux solutions : 0 et 0,375.
Or, l ≥ 0,1 car v0 = 0,1 et la suite (vn) est croissante, donc l ≠ 0.
On en déduit .
À long terme, la population se rapproche de 375 000 insectes sans jamais atteindre ni dépasser ce nombre. Le nombre d’insectes ne dépasse jamais 400 000, l’équilibre du milieu naturel est donc préservé.
▶ 4. a) Prévoir le comportement d’un programme écrit en langage Python
Dans le programme donné, la variable v prend comme valeurs successives les termes de la suite (vn).
Si on saisit seuil(0.4), la condition v < 0.4 au début de la boucle while sera toujours vérifiée puisque, pour tout entier naturel n, vn < 0,4. Le programme ne s’arrête jamais.
b) Déterminer la valeur renvoyée par un programme écrit en langage Python
Si on saisit seuil(0.35), le programme renvoie , qui est la plus petite valeur de n telle que vn ≥ 0,35.
On peut en effet vérifier que v5 ≈ 0,338 < 0,35 et v6 ≈ 0,358 > 0,35.
Cela signifie que c’est à partir du 6e mois que la population atteindra ou dépassera 350 000 insectes.