Partie a • étude d’un premier modèle en laboratoire

▶ 1. Justifier l’expression du terme général d’une suite

Le nombre d’insecte augmente de 60 % chaque mois, donc, pour tout entier naturel n : $u_{n+1}=u_n+\frac{u_n\times 60}{100}=\text{1,6 }{u}_n$.

On en déduit que (u_n) est une suite géométrique de raison 1,6 ; son premier terme est u₀ = 0,1.

Il en découle que, pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{0,1}\times {\mathrm{1,6}}^n$.

▶ 2. Étudier la limite d’une suite

1,6 > 1, donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{1,6}}^n=+\infty ,$ donc par produit :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

▶ 3. Déterminer le plus petit entier naturel vérifiant une condition donnée

$u_n>\text{0,4 }\iff \mathrm{0,1}\times {\mathrm{1,6}}^n>\mathrm{0,4}\iff {\mathrm{1,6}}^n>4$.

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, donc :

$u_n>\text{0,4 }\iff n\ln \left(\mathrm{1,6}\right)>\ln \left(4\right)\iff n>\frac{\ln \left(4\right)}{\ln \left(\mathrm{1,6}\right)}$

en divisant par $\ln \left(\mathrm{1,6}\right)$. $\ln \left(\mathrm{1,6}\right)>0$ car 1,6 > 1.

Or $\frac{\ln \left(4\right)}{\ln \left(\mathrm{1,6}\right)}\approx \mathrm{2,95}$ et n est entier, donc u_n > 0,4 ⇔ n ≥ 3.

Le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n > 0,4 est donc $n=3$.

▶ 4. Déterminer si une condition est vérifiée

D’après la question précédente, à partir du troisième mois la population d’insectes dépasse 400 000 insectes ; l’équilibre du milieu naturel n’est donc pas préservé.

Partie b • étude d’un second modèle

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

$v_1=\mathrm{1,6}{v}_0-\mathrm{1,6}{v}_0^2=\mathrm{1,6}\times \mathrm{0,1}-\mathrm{1,6}\times {\mathrm{0,1}}^2=\mathrm{0,144}$.

Selon ce modèle, il y aura 144 000 insectes au bout d’un mois.

▶ 2. a) Résoudre une équation

$f\left(x\right)=x\iff \mathrm{1,6}x-\mathrm{1,6}{x}^2=x\iff \mathrm{0,6}x-\mathrm{1,6}{x}^2=0\iff x\left(\mathrm{0,6}-\mathrm{1,6}x\right)=0.$

Donc $f\left(x\right)=x\iff x=\text{0 ou 0,6}-\mathrm{1,6}x\iff x=\text{0 ou }x=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{1,6}}$, soit :

$f\left(x\right)=x\iff x=\text{0 ou }x=\mathrm{0,375}$.

L’équation $f\left(x\right)=x$ possède deux solutions : 0 et 0,375.

b) Étudier le sens de variation d’une fonction

Pour tout x dans $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ : $f^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{1,6}-\mathrm{1,6}\times 2x=\mathrm{1,6}\left(1-2x\right)$.

Or, $0\le x\le \frac{1}{2}$, donc -1 ≤ - 2x ≤ 0 (en multipliant par - 2), puis 0 ≤ 1 - 2x ≤ 1 (en ajoutant 1).

Donc, pour tout x dans $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$, $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.

f est croissante sur $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$.

▶ 3. a) Montrer par récurrence une inégalité sur les termes d’une suite

v₀ = 0,1 ; v₁ = 0,144. Donc $0\le v_0\le v_1\le \frac{1}{2}$.

La propriété est vraie pour n = 0.

Soit n un entier naturel tel que $0\le v_n\le v_{n+1}\le \frac{1}{2}$.

Alors, puisque f est croissante sur $\left[0;\frac{1}{2}\right]$, $f\left(0\right)\le f\left(v_n\right)\le f\left(v_{n+1}\right)\le f\left(\frac{1}{2}\right)$. 

Or, $f\left(0\right)=0$, f(v_n) = v_n+1, $f\left(v_{n+1}\right)=v_{n+2}$ et $f\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{1,6}\times \frac{1}{2}-\mathrm{1,6}\times \frac{1}{4}=\mathrm{0,4}\le \frac{1}{2}$.

Donc $0\le v_{n+1}\le v_{n+2}\le \frac{1}{2}$.

La propriété est héréditaire.

La propriété étant vraie pour n = 0 et héréditaire, on en conclut que, pour tout entier naturel n, $0\le v_n\le v_{n+1}\le \frac{1}{2}$.

b) Montrer qu’une suite est convergente

D’après la question précédente, la suite (v_n) est croissante et majorée par $\frac{1}{2}$, donc, d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

c) Déterminer la limite d’une suite

D’après la question 2. a), l’équation $f\left(x\right)=x$ possède deux solutions : 0 et 0,375.

Or, l ≥ 0,1 car v₀ = 0,1 et la suite (v_n) est croissante, donc l ≠ 0.

On en déduit $l=\mathrm{0,375}$.

À long terme, la population se rapproche de 375 000 insectes sans jamais atteindre ni dépasser ce nombre. Le nombre d’insectes ne dépasse jamais 400 000, l’équilibre du milieu naturel est donc préservé.

▶ 4. a) Prévoir le comportement d’un programme écrit en langage Python

Dans le programme donné, la variable v prend comme valeurs successives les termes de la suite (v_n).

Si on saisit seuil(0.4), la condition v < 0.4 au début de la boucle while sera toujours vérifiée puisque, pour tout entier naturel n, v_n < 0,4. Le programme ne s’arrête jamais.

b) Déterminer la valeur renvoyée par un programme écrit en langage Python

Si on saisit seuil(0.35), le programme renvoie $n=6$, qui est la plus petite valeur de n telle que v_n ≥ 0,35.

On peut en effet vérifier que v₅ ≈ 0,338 < 0,35 et v₆ ≈ 0,358 > 0,35.

Cela signifie que c’est à partir du 6^e mois que la population atteindra ou dépassera 350 000 insectes.