Étude de l’évolution d’une surface engazonnée envahie par de la mousse

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Étude de l’évolution d’une surface engazonnée envahie par de la mousse

Suites numériques

matT_1406_07_07C

ens. spécifique

8

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de 1 500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel , on note la surface en m² de terrain engazonné au bout de  années, c’est-à-dire à l’automne . On a donc .

>1. Calculer . (0,25 point)

>2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel , . (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel par .

a) Démontrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (0,75 point)

b) Exprimer en fonction de .

En déduire que, pour tout nombre entier naturel  :

. (0,75 point)

c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ? (0,5 point)

>4.a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel telle que

Interpréter le résultat obtenu. (0,75 point)

b) Compléter l’algorithme fourni en annexe pour qu’il affiche la solution obtenue à la question précédente. (0,75 point)

>5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse. (0,75 point)

Annexe


Initialisation

prend la valeur 1 500

prend la valeur 0

Traitement

Tant que …. …. …. …. faire

prend la valeur …. …. …. ….

prend la valeur …. …. …. ….

Fin Tant que

Sortie

Afficher

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

>3. c) Le résultat cherché est .

>4. a) représente la surface (en m²) de terrain engazonné au bout de  années.

>5. Les mauvaises herbes (ou la mousse) ont envahi la totalité du terrain au bout de  années si et seulement si la surface de terrain engazonné au bout de années est nulle, c’est-à-dire si et seulement si .

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer un terme d’une suite

représente la surface engazonnée (en m²) au bout d’un an, c’est-à-dire en 2011. Cette surface est égale à 80 % de la surface engazonnée en 2010, auxquels on ajoute 50 m² (surface sur laquelle Claude arrache la mousse et la remplace par du gazon).

Donc , soit :

Au bout d’un an, la surface engazonnée est de 1 250 m².

>2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

Par le même raisonnement que précédemment, on établit que, pour tout entier naturel , vaut 80 % de et qu’on y ajoute 50, soit :

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Or , donc , d’où :

.

On a donc , soit .

Donc la suiteest géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est .

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

D’après le résultat du cours, pour tout entier naturel  :

.

d’où :

c) Calculer numériquement un terme d’une suite

La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est .

D’après la question précédente :

.

Au bout de 4 années, la surface de terrain engazonné est 762 m².

>4. a) Résoudre une inéquation où l’inconnue est un entier figurant en exposant

équivaut successivement à :

 ;

 ;

car la fonction ln est strictement croissante sur .

D’après une propriété de la fonction ln, cette dernière inégalité équivaut à :

On divise les deux membres de cette inégalité par  ( car ).

On en déduit que l’inégalité équivaut à .

Or et est entier, donc la plus petite valeur de telle que :

Info

On peut vérifier le résultat en calculant les premiers termes de la suite :

et .

est :

Cela signifie que la surface engazonnée devient pour la première fois inférieure à 500 m² au bout de 8 années.

b) Compléter un algorithme

Attention !

Si l’on complète la deuxième ligne de la partie Traitement par , l’algorithme affiche en sortie 9, à cause de l’instruction suivante «  prend la valeur  ».

L’algorithme suivant affiche en sortie la solution () obtenue à la question précédente :


Initialisation

prend la valeur 1 500

prend la valeur 0

Traitement

Tant que faire

prend la valeur

prend la valeur

Fin Tant que

Sortie

Afficher

>5. Interpréter sous forme d’une inégalité une situation concrète

Pour tout entier naturel , , donc .

La surface engazonnée est toujours supérieure ou égale à 250, donc Claude a raison lorsqu’il affirme que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain ; d’après les calculs précédents, la surface envahie par les mauvaises herbes ou la mousse est toujours inférieure à 750 m² (si l’évolution se poursuit de la même manière).