Suites numériques
matT_1406_07_07C
ens. spécifique
8
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2014
Exercice 2 • 5 points
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d'un terrain de 1 500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel 
, on note 
la surface en m² de terrain engazonné au bout de 
années, c'est-à-dire à l'automne 
. On a donc 
.
. (0,25 point)
, 
. (0,5 point)
définie pour tout nombre entier naturel 
par 
.
est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (0,75 point)
en fonction de 
.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel 
:
. (0,75 point)
telle que 
Interpréter le résultat obtenu. (0,75 point)
Annexe
| Initialisation
Traitement Tant que …. …. …. …. faire
Fin Tant que Sortie Afficher |
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Les conseils du correcteur
.
représente la surface (en m²) de terrain engazonné au bout de 
années.
années si et seulement si la surface de terrain engazonné au bout de 
années est nulle, c'est-à-dire si et seulement si 
.
> 1. Calculer un terme d'une suite
représente la surface engazonnée (en m²) au bout d'un an, c'est-à-dire en 2011. Cette surface est égale à 80 % de la surface engazonnée en 2010, auxquels on ajoute 50 m² (surface sur laquelle Claude arrache la mousse et la remplace par du gazon).
Donc 
, soit :
> 2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d'une suite
Par le même raisonnement que précédemment, on établit que, pour tout entier naturel 
, 
vaut 80 % de 
et qu'on y ajoute 50, soit :
> 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Or 
, donc 
, d'où :
.
On a donc 
, soit 
.
Son premier terme est 
b) Donner l'expression du terme général de deux suites
D'après le résultat du cours, pour tout entier naturel 
:
.
d'où :
c) Calculer numériquement un terme d'une suite
La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est 
.
D'après la question précédente :
.
> 4. a) Résoudre une inéquation où l'inconnue est un entier figurant en exposant
équivaut successivement à :
car la fonction ln est strictement croissante sur 
.
D'après une propriété de la fonction ln, cette dernière inégalité équivaut à :
On divise les deux membres de cette inégalité par 
(
car 
).
On en déduit que l'inégalité équivaut à 
.
Or 
et 
est entier, donc la plus petite valeur de 
telle que :
Info
On peut vérifier le résultat en calculant les premiers termes de la suite :
et 
.
est :
b) Compléter un algorithme
Attention !
Si l'on complète la deuxième ligne de la partie Traitement par 
, l'algorithme affiche en sortie 9, à cause de l'instruction suivante « 
prend la valeur 
».
L'algorithme suivant affiche en sortie la solution (
) obtenue à la question précédente :
| Initialisation
Traitement Tant que
Fin Tant que Sortie Afficher |
> 5. Interpréter sous forme d'une inégalité une situation concrète
Pour tout entier naturel 
, 
, donc 
.
La surface engazonnée est toujours supérieure ou égale à 250, donc Claude a raison lorsqu'il affirme que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain d'après les calculs précédents,