À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de 1  500  m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20  % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50  m² et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel , on note la surface en m² de terrain engazonné au bout de   années, c’est-à-dire à l’automne . On a donc .

>1. Calculer . (0,25  point)

>2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel , . (0,5  point)

>3. On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel par .

a) Démontrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (0,75  point)

b) Exprimer en fonction de .

En déduire que, pour tout nombre entier naturel   :

. (0,75  point)

c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4  années  ? (0,5  point)

>4.a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel telle que

Interpréter le résultat obtenu. (0,75  point)

b) Compléter l’algorithme fourni en annexe pour qu’il affiche la solution obtenue à la question précédente. (0,75  point)

>5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison  ? Justifier la réponse. (0,75  point)