Suites numériques
matT_1406_07_07C
ens. spécifique
8
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2014
Exercice 2 • 5 points
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d'un terrain de 1 500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel , on note
la surface en m² de terrain engazonné au bout de
années, c'est-à-dire à l'automne
. On a donc
.
,
. (0,5 point)
définie pour tout nombre entier naturel
par
.
est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (0,75 point)
En déduire que, pour tout nombre entier naturel :
telle que
Interpréter le résultat obtenu. (0,75 point)
Annexe
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Les conseils du correcteur
.
représente la surface (en m²) de terrain engazonné au bout de
années.
années si et seulement si la surface de terrain engazonné au bout de
années est nulle, c'est-à-dire si et seulement si
.
> 1. Calculer un terme d'une suite
représente la surface engazonnée (en m²) au bout d'un an, c'est-à-dire en 2011. Cette surface est égale à 80 % de la surface engazonnée en 2010, auxquels on ajoute 50 m² (surface sur laquelle Claude arrache la mousse et la remplace par du gazon).
> 2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d'une suite
Par le même raisonnement que précédemment, on établit que, pour tout entier naturel ,
vaut 80 % de
et qu'on y ajoute 50, soit :
> 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
b) Donner l'expression du terme général de deux suites
c) Calculer numériquement un terme d'une suite
La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est .
D'après la question précédente :
> 4. a) Résoudre une inéquation où l'inconnue est un entier figurant en exposant
car la fonction ln est strictement croissante sur
.
D'après une propriété de la fonction ln, cette dernière inégalité équivaut à :
On divise les deux membres de cette inégalité par (
car
).
est :
b) Compléter un algorithme
> 5. Interpréter sous forme d'une inégalité une situation concrète
Pour tout entier naturel ,
, donc
.
La surface engazonnée est toujours supérieure ou égale à 250, donc Claude a raison lorsqu'il affirme que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain d'après les calculs précédents,