Étude de l’évolution de la population d’une ville

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude de l’évolution de la population d’une ville
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1305_09_02C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 2 • 5 points

partie a

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel  :

>1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel, . (0,5 point)

>2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . (0,75 point)

partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :

  • 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
  • 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

>1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite , où désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

>2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

 

VARIABLES :

a, i, n

INITIALISATION :

Choisir n

a prend la valeur 10

TRAITEMENT :

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur ……

SORTIE :

Afficher a

 

>3.a)  Résoudre l’inéquation . (0,75 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Partie B

>3.a) Vous pouvez utiliser la fonction ln.

Corrigé

partie a

>1.a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est

b) Donner l’expression d’un terme d’une suite géométrique

On en déduit que, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression d’un terme d’une suite

Pour tout entier naturel, , donc .

D’après la question précédente :

>2. Déterminer les limites de deux suites

est une suite géométrique de raison 0,9 et , donc :

 

Notez bien

La suite est donc une suite convergente.

Pour tout entier naturel , , donc :

partie b

>1. Modéliser l’évolution d’une population par une suite

On note le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année .

Le nombre d’habitants de la ville de Bellecité de l’année est égal à 90 % du nombre d’habitants de la ville l’année précédente (puisque 10 % des habitants meurent ou déménagent dans une autre ville, 90 % restent), auxquels s’ajoutent, d’après l’énoncé, 1 200 personnes (naissances ou personnes arrivant d’une autre ville), soit 1,2 millier de personnes.

D’où pour tout entier naturel .

On peut donc modéliser la situation par la suiteétudiée dans la partieA.

>2. Utiliser un algorithme pour calculer un terme d’une suite

 

Notez bien

Dans l’algorithme, est un « compteur » qui permet de déterminer le nombre de répétitions dans la boucle.

Pour que l’algorithme donné calcule la population de la ville de Bellecité l’année , on complète la partie « TRAITEMENT » :

 

VARIABLES :

a, i, n

INITIALISATION :

Choisir n

a prend la valeur 10

TRAITEMENT :

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur 0,9a+ 1,2

SORTIE :

Afficher a

 

>3.a) Résoudre une inéquation dont l’inconnue est un entier

 

Notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur  : elle « conserve l’ordre ».

équivaut successivement à :

 

Attention

On divise par et car . On inverse donc le sens de l’inégalité.

.

 

Info

On peut vérifier ce résultat avec l’algorithme de la question précédente :

avec , on obtient 11,491627 et 11,491627 < 11,5 ;

avec , on obtient 11,542464 et 11,542464 > 11,5.

.

Donc équivaut à :

b) Interpréter les solutions d’une inéquation

La population de la ville de Bellecité dépassera 11,5 milliers d’habitants à partir de l’année, c’est-à-dire à partir de 2026.