Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Étude de l’évolution de la population d’une ville

Analyse • Suites numériques

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1305_09_02C

Liban • Mai 2013

Exercice 2 • 5 points

partie a

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel  :

> 1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel, . (0,5 point)

> 2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . (0,75 point)

partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :

10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

> 1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite , où désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

> 2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

VARIABLES :	a, i, n
INITIALISATION :	Choisir n a prend la valeur 10
TRAITEMENT :	Pour i allant de 1 à n a prend la valeur ……
SORTIE :	Afficher a

> 3. a)  Résoudre l’inéquation . (0,75 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Partie B

> 3. a) Vous pouvez utiliser la fonction ln.

Corrigé

partie a

> 1.a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est

b) Donner l’expression d’un terme d’une suite géométrique

On en déduit que, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression d’un terme d’une suite

Pour tout entier naturel, , donc .

D’après la question précédente :

> 2. Déterminer les limites de deux suites

est une suite géométrique de raison 0,9 et , donc :

Notez bien

La suite est donc une suite convergente.

Pour tout entier naturel , , donc :

partie b

> 1. Modéliser l’évolution d’une population par une suite

On note le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année .

Le nombre d’habitants de la ville de Bellecité de l’année est égal à 90 % du nombre d’habitants de la ville l’année précédente (puisque 10 % des habitants meurent ou déménagent dans une autre ville, 90 % restent), auxquels s’ajoutent, d’après l’énoncé, 1 200 personnes (naissances ou personnes arrivant d’une autre ville), soit 1,2 millier de personnes.

D’où pour tout entier naturel .

On peut donc modéliser la situation par la suiteétudiée dans la partieA.

> 2. Utiliser un algorithme pour calculer un terme d’une suite

Notez bien

Dans l’algorithme, est un « compteur » qui permet de déterminer le nombre de répétitions dans la boucle.

Pour que l’algorithme donné calcule la population de la ville de Bellecité l’année , on complète la partie « TRAITEMENT » :

VARIABLES :	a, i, n
INITIALISATION :	Choisir n a prend la valeur 10
TRAITEMENT :	Pour i allant de 1 à n a prend la valeur 0,9a+ 1,2
SORTIE :	Afficher a