Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014
Exercice 3 • 5 points
Étude de l'évolution du nombre d'abonnés à des salles de sport
Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante :
chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés
chaque année, 40 % des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés.
En 2010, cette société comptait 1 500 abonnés.
On considère la suite 
définie par 
et :
.
▶ 1. Justifier que la suite 
modélise le nombre d'abonnés pour l'année 
. (0,5 point)
▶ 2. On considère la suite 
définie par 
.
a) Montrer que la suite 
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)
b) Déterminer l'expression de 
en fonction de 
. (0,5 point)
c) En déduire que 
. (0,5 point)
▶ 3. En 2010, le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.
a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? (0,5 point)
Chaque année, le prix de cet abonnement augmente de 5 %.
On note 
le prix de l'abonnement annuel pour l'année 
.
b) Indiquer la nature de la suite 
en justifiant la réponse.
En déduire l'expression de 
en fonction de 
. (0,75 point)
c) Montrer que, pour l'année 
, la recette totale annuelle 
réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par :
(0,75 point)
d) Trouver, à l'aide de votre calculatrice, l'année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. (0,75 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique
Les conseils du correcteur
▶ 3. a) La recette est égale au produit du prix d'un abonnement et du nombre d'abonnés.
b) Une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05 (coefficient multiplicateur).
Corrigé
▶ 1. Modéliser une situation par une suite
Le nombre d'abonnés 
de l'année 
est égal à 60 % du nombre d'abonnés de l'année 
soit 
, auxquels on ajoute les 400 nouveaux abonnés que la société accueille chaque année.
Donc, pour tout entier naturel 
:
.
D'autre part, en 2010, la société comptait 1 500 abonnés.
La suite 
donnée dans l'énoncé modélise donc le nombre d'abonnés pour l'année 
.
▶ 2. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique, déterminer sa raison et son premier terme
Pour tout entier naturel 
:
.
On en déduit que la suite 
est une suite géométrique de raison 
son premier terme est 
.
b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique
D'après le cours et la question précédente, pour tout entier naturel 
:
c) Donner l'expression du terme général d'une suite associée à une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
▶ 3. a) Calculer une recette
La recette (en euros) de la société en 2010 est égale au produit du prix d'un abonnement par le nombre d'abonnés, soit 
.
En 2010, la recette de la société était donc de 600 000 €.
b) Déterminer la nature d'une suite
Notez bien
1,05 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05.
Pour tout entier naturel 
:
.
La suite 
est donc une suite géométrique de raison 1,05.
c) Donner l'expression du terme général d'une suite
Pour tout entier naturel 
, la recette 
de l'année 
est :
Or, 
d'où :
d) Déterminer le rang à partir duquel un terme d'une suite est supérieur à un nombre donné
On cherche la plus petite valeur strictement positive de 
telle que :
.
On utilise la calculatrice pour construire un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite 
on constate que les termes diminuent jusqu'à 
, puis augmentent.
et 
.
La plus petite valeur strictement positive de 
telle que 
est donc 9. C'est donc en 2019 (
) que la recette de la société dépassera pour la première fois celle de 2010.