Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :

chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;

chaque année, 40 % des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010, cette société comptait 1 500 abonnés.

On considère la suite définie par et :

.

▶ 1. Justifier que la suite modélise le nombre d’abonnés pour l’année . (0,5 point)

▶ 2. On considère la suite définie par .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que . (0,5 point)

▶ 3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.

a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? (0,5 point)

Chaque année, le prix de cet abonnement augmente de 5 %.

On note le prix de l’abonnement annuel pour l’année .

b) Indiquer la nature de la suite en justifiant la réponse.

En déduire l’expression de en fonction de . (0,75 point)

c) Montrer que, pour l’année , la recette totale annuelle réalisée par la société pour l’ensemble de ses salles de sport est donnée par :

(0,75 point)

d) Trouver, à l’aide de votre calculatrice, l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. (0,75 point)