Étude de l'évolution du nombre d'abonnés à des salles de sport

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 3 • 5 points

Étude de l’évolution du nombre d’abonnés à des salles de sport

Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :

chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;

chaque année, 40 % des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010, cette société comptait 1 500 abonnés.

On considère la suite 1742376-Eqn61 définie par 1742376-Eqn63 et :

1742376-Eqn62.

1. Justifier que la suite 1742376-Eqn64 modélise le nombre d’abonnés pour l’année 1742376-Eqn65. (0,5 point)

2. On considère la suite 1742376-Eqn66 définie par 1742376-Eqn67.

a) Montrer que la suite 1742376-Eqn68 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l’expression de 1742376-Eqn70 en fonction de 1742376-Eqn71. (0,5 point)

c) En déduire que 1742376-Eqn73. (0,5 point)

3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.

a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? (0,5 point)

Chaque année, le prix de cet abonnement augmente de 5 %.

On note 1742376-Eqn74 le prix de l’abonnement annuel pour l’année 1742376-Eqn75.

b) Indiquer la nature de la suite 1742376-Eqn76 en justifiant la réponse.

En déduire l’expression de 1742376-Eqn78 en fonction de 1742376-Eqn79. (0,75 point)

c) Montrer que, pour l’année 1742376-Eqn81, la recette totale annuelle 1742376-Eqn82 réalisée par la société pour l’ensemble de ses salles de sport est donnée par :

1742376-Eqn84(0,75 point)

d) Trouver, à l’aide de votre calculatrice, l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique

Les conseils du correcteur

3. a) La recette est égale au produit du prix d’un abonnement et du nombre d’abonnés.

b) Une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05 (coefficient multiplicateur).

Corrigé

Corrigé

1. Modéliser une situation par une suite

Le nombre d’abonnés 1742376-Eqn219 de l’année 1742376-Eqn220 est égal à 60 % du nombre d’abonnés de l’année 1742376-Eqn221 soit 1742376-Eqn222, auxquels on ajoute les 400 nouveaux abonnés que la société accueille chaque année.

Donc, pour tout entier naturel 1742376-Eqn223 :

1742376-Eqn224.

D’autre part, en 2010, la société comptait 1 500 abonnés.

La suite 1742376-Eqn225 donnée dans l’énoncé modélise donc le nombre d’abonnés pour l’année 1742376-Eqn226.

2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique, déterminer sa raison et son premier terme

Pour tout entier naturel 1742376-Eqn227 :

1742376-Eqn228

1742376-Eqn230.

On en déduit que la suite 1742376-Eqn233 est une suite géométrique de raison 1742376-Eqn234 ; son premier terme est 1742376-Eqn235.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours et la question précédente, pour tout entier naturel 1742376-Eqn236 :

1742376-Eqn237

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel 1742376-Eqn238 :

1742376-Eqn239

1742376-Eqn240

3. a) Calculer une recette

La recette (en euros) de la société en 2010 est égale au produit du prix d’un abonnement par le nombre d’abonnés, soit 1742376-Eqn241.

En 2010, la recette de la société était donc de 600 000 €.

b) Déterminer la nature d’une suite

Notez bien

1,05 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ; une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05.

Pour tout entier naturel 1742376-Eqn242 :

1742376-Eqn243.

La suite 1742376-Eqn244 est donc une suite géométrique de raison 1,05.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel 1742376-Eqn245, la recette 1742376-Eqn246 de l’année 1742376-Eqn247 est :

1742376-Eqn248

Or, 1742376-Eqn249 ; d’où :

1742376-Eqn250

d) Déterminer le rang à partir duquel un terme d’une suite est supérieur à un nombre donné

On cherche la plus petite valeur strictement positive de 1742376-Eqn251 telle que :

1742376-Eqn252.

On utilise la calculatrice pour construire un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite 1742376-Eqn253 ; on constate que les termes diminuent jusqu’à 1742376-Eqn254, puis augmentent.

1742376-Eqn255 et 1742376-Eqn256.

La plus petite valeur strictement positive de 1742376-Eqn257 telle que 1742376-Eqn258 est donc 9. C’est donc en 2019 (1742376-Eqn259) que la recette de la société dépassera pour la première fois celle de 2010.