Étude de la clientèle d'un magasin de téléphonie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 1 • 6 points

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est ­composée de 42 % de femmes.

35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

3316332-Eqn1 l’événement : « La personne est une femme » ;

3316332-Eqn2 l’événement : « La personne repart sans rien acheter »

Pour tout événement 3316332-Eqn3, on note 3316332-Eqn4 son événement contraire et 3316332-Eqn5 sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

partie A

 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (0,75 point)

 2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter. (0,75 point)

 3. Montrer que 3316332-Eqn6. (1 point)

partie B

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type T1 qu’il vient de s’offrir.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T1 prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 3316332-Eqn7 et d’écart-type 3316332-Eqn8.

 1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type T1 prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885. (0,75 point)

 2. On sait que le téléphone de type T1 prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ? (1 point)

partie C

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

 1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500. (1 point)

 2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires.

Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

 2. L’événement dont on demande la probabilité est l’intersection de deux événements.

Partie B

 1. X représente la durée de vie d’un téléphone en mois.

 2. La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle (l’événement « le téléphone a fonctionné plus de trois ans » est supposé réalisé) ; utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie C

 2. Calculez la fréquence, dans l’échantillon considéré, de personnes ayant acheté uniquement des accessoires, puis regardez si cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation déterminé à la question précédente.

Corrigé

Corrigé

partie A

 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé :

3316332-Eqn111 car la clientèle est constituée de 42 % de femmes ;

3316332-Eqn112 car 35 % des femmes entrant dans le magasin y effectuent un achat ;

3316332-Eqn113 car 55 % des hommes entrant dans le magasin font un achat.

Info

L’événement « la personne effectue un achat » est l’événement 3316332-Eqn114

La situation décrite peut être représentée par l’arbre ci-dessous :

matT_1506_07_01C_04

 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité cherchée est 3316332-Eqn115.

D’après l’arbre :

3316332-Eqn116

3316332-Eqn117

3316332-Eqn118

 3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

Notez bien

Ce résultat peut être interprété de la manière suivante : 53,4 % des personnes entrant dans le magasin repartent sans rien acheter.

3316332-Eqn119 et 3316332-Eqn120 sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

3316332-Eqn121

d’où :

3316332-Eqn122.

3316332-Eqn123

partie B

 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

88,5 % environ des téléphones de type T1 fonctionnent plus de trois ans.

On cherche 3316332-Eqn124.

Or 3316332-Eqn125.

3316332-Eqn126 (d’après la calculatrice) en arrondissant au millième ;

3316332-Eqn127 car X suit une loi normale d’espérance 48.

D’où, en arrondissant au millième :

3316332-Eqn128

 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que le téléphone fonctionne moins de 5 ans sachant qu’il a fonctionné plus de 3 ans est 3316332-Eqn129.

Attention !

Ne pas oublier de convertir les durées en mois !

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

3316332-Eqn130.

3316332-Eqn131 d’après la calculatrice

3316332-Eqn132 d’après la question précédente.

D’où, en arrondissant au millième :

3316332-Eqn133

partie C

 1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

D’après l’hypothèse émise par le gérant, la proportion de personnes achetant uniquement des accessoires est 3316332-Eqn134.

La taille de l’échantillon est n = 1 500. Les conditions de validité :

3316332-Eqn135 = 450 3316332-Eqn136 ; n(1–p= 1 050 3316332-Eqn137

sont vérifiées, donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes achetant uniquement des accessoires dans un échantillon de taille 1 500 est :

3316332-Eqn138.

Après calcul, en arrondissant de manière à obtenir un intervalle contenant le précédent, on en déduit que cet intervalle est :

3316332-Eqn139

 2. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

Info

La valeur de 3316332-Eqn140 obtenue dans l’échantillon est compatible, au seuil de 95 %, avec la valeur avancée par le gérant.

Dans l’échantillon de taille 1 500 considéré, la fréquence 3316332-Eqn141 de personnes achetant uniquement des accessoires est :

3316332-Eqn142

donc 3316332-Eqn143, I étant l’intervalle de fluctuation déterminé à la question 1.

On ne doit donc pas rejeter l’hypothèse formulée par le gérant du magasin.